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高中数学必修5知识点总结(精品)(word文档物超所值)

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必修 5 知识点总结

1、正弦定理:在 ?A?C 中, a 、 b 、 c 分别为角 A 、 ? 、 C 的对边, R 为 ?A?C 的外接圆的半径,

则有 a ? b ? c ? 2R . sin A sin ? sin C

2、正弦定理的变形公式:① a ? 2R sin A , b ? 2R sin ? , c ? 2R sin C ;

② sin A ? a , sin ? ? b , sin C ? c ;③ a : b : c ? sin A : sin ? : sin C ;

2R

2R

2R



a?b?c

? a ?b? c .

sin A ? sin ? ? sin C sin A sin ? sin C

(正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。2、已知两角和一

边,求其余的量。)

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。(一解、两解、无解三中情况)

如:在三角形 ABC 中,已知 a、b、A(A 为锐角)求 B。具体的做法是:数形结合思想

画出图:法一:把 a 扰着 C 点旋转,看所得轨迹以 AD 有无交点: C

当无交点则 B 无解、

当有一个交点则 B 有一解、

a b

当有两个交点则 B 有两个解。

bsinA

法二:是算出 CD=bsinA,看 a 的情况:

A D

当 a<bsinA,则 B 无解

当 bsinA<a≤b,则 B 有两解

当 a=bsinA 或 a>b 时,B 有一解

注:当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。

3、三角形面积公式: S?A?C

?

1 bc sin A 2

?

1 2

ab sin C

?

1 2

ac sin ? .

4、余弦定理:在 ?A?C 中,有 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A , b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos ? ,

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .

5、余弦定理的推论: cos A ? b2 ? c2 ? a2 , cos ? ? a2 ? c2 ? b2 , cos C ? a2 ? b2 ? c2 .

2bc

2ac

2ab

(余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2、已知三边求角)

6、如何判断三角形的形状:设 a 、 b 、 c 是 ?A?C 的角 A 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a2 ? b2 ? c2 ,则

C ? 90o ;

1

②若 a2 ? b2 ? c2 ,则 C ? 90o ;③若 a2 ? b2 ? c2 ,则 C ? 90o .
A 正余弦定理的综合应用:如图所示:隔河看两目标 A、B,
但不能到达,在岸边选取相距 3 千米的 C、D 两点,
并测得∠ACB=75O, ∠BCD=45O, ∠ADC=30O, C
∠ADB=45O(A、B、C、D 在同一*面内),求两目标 A、B 之间的距离。
本题解答过程略

B D

附:三角形的五个“心”; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直*分线相交于一点. 内心:三角形三内角的*分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. 7、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 8、数列的项:数列中的每一个数. 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列. 11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列(即:an+1>an). 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列(即:an+1<an). 13、常数列:各项相等的数列(即:an+1=an). 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
15、数列的通项公式:表示数列?an?的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式.
16、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an?1 (或前几项)间的关系的公式.
17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,
这个常数称为等差数列的公差.符号表示: an?1 ? an ? d 。注:看数列是不是等差数列有以下三种方法:
① an ? an?1 ? d (n ? 2, d为常数) ②2 an ? an?1 ? an?1 ( n ? 2 ) ③ an ? kn ? b ( n, k 为常数
18、由三个数 a , A , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 A 称为 a 与 b 的等差中项.若 b ? a ? c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项.
2
? ? ? ? 19、若等差数列 an 的首项是 a1 ,公差是 d ,则 an ? a1 ? n ?1 d .
2

? ? ? ? 20、通项公式的变形:① an

? am ?

n?m

d ;② a1 ? an ?

n ?1

d ;③ d

?

an ? a1 n ?1



④n

?

an ? a1 d

?1;⑤ d

?

an ? am n?m



21、若?an?是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ),则 am ? an ? ap ? aq ;若?an?是等

差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ),则 2an ? ap ? aq .

? ? n
22、等差数列的前 n 项和的公式:① Sn ?

a1 ? an 2

n?n ?1?
;② Sn ? na1 ? 2 d .③

sn ? a1 ? a2 ?L ? an

? ? ? ? 23、等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ? ?* ,则 S2n ? n an ? an?1 ,且 S偶奇? S ? nd ,

S奇 ? an . S偶 an?1

? ? ②若项数为 2n ?1 n ? ?* ,则 S2n?1 ? ?2n ?1?an ,且 S奇偶? S

?

an ,

S奇 S偶

?

n n ?1 (其中 S奇

?

nan ,

S偶 ? ?n ?1?an ).

24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,

这个常数称为等比数列的公比.符号表示: an?1 ? q (注:①等比数列中不会出现值为 0 的项;②同号 an

位上的值同号)

注:看数列是不是等比数列有以下四种方法:

① an ? an?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0)



a

2 n

?

an?1 ? an?1 ( n

?

2 , an an?1an?1

?

0)

③ an ? cq n ( c, q 为非零常数).

④正数列{ an }成等比的充要条件是数列{ log x an }( x f 1 )成等比数列.

25、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若 G2 ? ab ,

则称 G 为 a 与 b 的等比中项.(注:由 G2 ? ab 不能得出 a , G , b 成等比,由 a ,

G , b ? G2 ? ab )
? ? 26、若等比数列 an 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1qn?1 .
3

27、通项公式的变形:

① an

? amqn?m ;② a1

? anq??n?1? ;③ qn?1

?

an a1

;④ qn?m

?

an am



28、若?an?是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ),则 am ? an ? ap ? aq ;若?an?是等比

数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ),则 an2 ? ap ? aq .

? ? 29、等比数列?an?的前

n

项和的公式:①

Sn

?

??na1 ?q ? 1?

? ? ?

a1

1? q 1? q

n

?

a1 ? anq 1? q

?q

.②
? 1?

sn ? a1 ? a2 ?L ? an

30、对任意的数列{ an }的前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系: an

?

???ss1n

? ?

a1 (n ? sn?1 (n

1) ? 2)

[注]: ① a n ?a1??n ?1?d ? nd ? ?a1?d ?( d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数列也是等差

数列)→若 d 不为 0,则是等差数列充分条件).

②等差{

a

n

}前

n

项和

S

n?

An 2

? Bn

?

?? ?

d 2

??n ?

2

??? ?

a

1

?

d 2

??n ?

→ d 可以为零也可不为零→为等差的充要条件→ 2

若 d 为零,则是等差数列的充分条件;若 d 不为零,则是等差数列的充分条件.

③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列)

附:几种常见的数列的思想方法:

⑴等差数列的前 n 项和为 Sn ,在 d p 0 时,有最大值. 如何确定使 Sn 取最大值时的 n 值,有两种方法:

一是求使 an

?

0, an?1

p

0 ,成立的 n

值;二是由 S n

?

d 2

n2

? (a1

?

d )n 利用二次函数的性质求 n 2

的值.

数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下:

数列

通项公式

对应函数

等差数列



时为一次函数)

等比数列

(指数型函数)

数列 等差数列

前 n 项和公式

对应函数



时为二次函数)

4

等比数列

(指数型函数)

我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”,将数列的通项公式以及前 n 项和看成是关于 n 的函数,为 我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。

例题:1、等差数列 中,





.

分析:因为 是等差数列,所以 是关于 n 的一次函数,

一次函数图像是一条直线,则(n,m),(m,n),(m+n, )三点共线,

所以利用每两点形成直线斜率相等,即

,得

列通项公式与一次函数的对应关系,并结合图像,直观、简洁。

=0(图像如上),这里利用等差数

例题:2、等差数列 中,

,前 n 项和为 ,若

,n 为何值时 最大?

分析:等差数列前 n 项和 可以看成关于 n 的二次函数 =



是抛物线 =

上的离散点,根据题意,



则因为欲求 最大值,故其对应二次函数图像开口向下,并且对称轴为

,即当

时,

最大。 例题:3 递增数列 ,对任意正整数 n,

恒成立,求

分析: 构造一次函数,由数列 递增得到:

对于一切

恒成立,即

恒成立,所以

对一切

恒成立,设

,则只需求出

的最大值即可,显然 有最大值

,所以 的取值范围是:



构造二次函数,

看成函数

,它的定义域是

,因为是递

增数列,即函数

为递增函数,单调增区间为

,抛物线对称轴

,因为函数

f(x)为离散函数,要函数单调递增,就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看,对称轴



5

的左侧 也可以(如图),因为此时 B 点比 A 点高。于是,

,得

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前 n 项和可依照等比数列前

n 项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如:1? 1 ,3 1 ,...(2n ?1) 1 ,...

24

2n

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项,

公差是两个数列公差 d1,d 2 的最小公倍数.

2.

判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证

an

?

an

?1

(

an an?1

)

为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证 2an?1

?

an

?

an?2

(an2?1 ? an an?2 )n ? N 都成立。

3. 在等差数列{ an }中,有关 Sn 的最值问题:(1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ???aamm?1??00 的项数 m 使得 sm 取

最大值. (2)当 a1 <0,d>0 时,满足的项数 m 使得 sm 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转

化思想的应用。

附:数列求和的常用方法

1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

?c?

2.裂项相消法:适用于 ?

? 其中{

? an an?1 ?

an }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部分无理数列、含阶乘

的数列等。

1 例题:已知数列{an}的通项为 an= n(n ?1) ,求这个数列的前 n 项和 Sn.

解:观察后发现:an=

1 n

?

n

1 ?

1

sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an

∴ ? (1? 1) ? (1 ? 1) ? ??? ? (1 ? 1 )

2 23

n n?1

?1? 1 n ?1

3.错位相减法:适用于 ?anbn ?其中{ an }是等差数列,?bn ?是各项不为 0 的等比数列。
6

例题:已知数列{an}的通项公式为 an ? n ? 2n ,求这个数列的前 n 项之和 sn 。
解:由题设得:

sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an

=1? 21 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ??? ? n ? 2n



sn =1? 21 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ??? ? n ? 2n



把①式两边同乘 2 后得

2sn =1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ??? ? n ? 2n?1 ②

用①-②,即:

sn =1? 21 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ??? ? n ? 2n



2sn =1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ??? ? n ? 2n?1 ②



?sn ? 1? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ? 2n ? n ? 2n?1 ? 2(1? 2n ) ? n ? 2n?1 1? 2 ? 2n?1 ? 2 ? n ? 2n?1
? (1? n)2n?1 ? 2

∴ sn ? (n ?1)2n?1 ? 2

4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法.

5.常用结论

n(n ? 1)
1): 1+2+3+...+n =
2

13 ? 23 ? L

? n3

?

? ??

1 2

n(n

?

1)???

2

2) 1+3+5+...+(2n-1) = n2

3)

4) 12 ? 22 ? 32 ? L ? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) 6

5) 1 ? 1 ? 1 n(n ? 1) n n ? 1

1 ? 1 (1 ? 1 ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

7

6) 1 ? 1 ( 1 ? 1 ) ( p ? q) pq q ? p p q
31、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 32、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ;② a ? b,b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ;
④ a ? b,c ? 0 ? ac ? bc , a ? b,c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d ;
? d ? 0 ? ac ? bd ⑥ ;⑦ a ? b ? 0 ? an ? bn ?n ? ?, n ? 1?;
⑧ a ? b ? 0 ? n a ? n b ?n ? ?, n ? 1?.
33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式.
34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式(高次不等式)的解法 穿根法(零点分段法)
求解不等式: a0 x n ? a1x n?1 ? a2 x n?2 ? L ? an ? 0(? 0)(a0 ? 0)
解法:①将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式,并将各因式 x 的系数化“+”;(为了统 一方便)
②求根,并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来; ③由右上方穿线(即从右向左、从上往下:偶次根穿而不过,奇次根一穿而过),经过数轴上表示
各根的点(为什么?); ④若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在 x 轴上方的区间;若不等式是“<0”,则
找“线”在 x 轴下方的区间.

+

+

X1 — X2 X3 —

+ +
X Xn-2 Xn-1 — Xn


(自右向左正负相间)
例题:求不等式 x2 ? 3x2 ? 6x ? 8 ? 0 的解集。
8

解:将原不等式因式分解为: (x ? 2)(x ?1)(x ? 4) ? 0 由方程: (x ? 2)(x ?1)(x ? 4) ? 0 解得 x1 ? ?2, x2 ? 1, x3 ? 4
将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来,如图

? -2

+ +

1

?4

x

由图可看出不等式 x2 ? 3x2 ? 6x ? 8 ? 0 的解集为:
?x | ?2 ? x ? 1,或x ? 4?
例题:求解不等式 (x ?1)(x ? 2)(x ? 5) ? 0 的解集。 (x ? 6)(x ? 4)
解:略

一元二次不等式的求解: 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论;
②一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)解的讨论.
? ?0

? ?0

二次函数
y ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0 )的图象

一元二次方程
ax2 ? bx ? c ? 0
?a ? 0?的根

有两相异实根
x1, x2 (x1 ? x2 )

有两相等实根

x1

?

x2

?

?

b 2a

9

? ?0
无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

? ? x x ? x1或x ? x2

? ?x ?

x

?

?

b 2a

? ? ?

?x x1 ? x ?x2?

?

R
?

对于 a<0 的不等式可以先把 a 化为正后用上表来做即可。

2.分式不等式的解法

f (x)

f (x)

f (x)

f (x)

(1)标准化:移项通分化为

>0(或

<0);

≥0(或

≤0)的形式,

g(x)

g(x)

g(x)

g(x)

(2)转化为整式不等式(组)

f (x) g(x)

?0?

f (x)g(x) ? 0; f (x) g(x)

?

0

?

???gf ((xx))

g(x) ?0

?

0

例题:求解不等式: 1 ? ?1 x
解:略
例题:求不等式 x ? 1 的解集。 x ?1
3.含绝对值不等式的解法:

基本形式:

①型如:|x|<a (a>0) 的不等式 的解集为:?x | ?a ? x ? a?

②型如:|x|>a (a>0) 的不等式 的解集为:?x | x ? ?a,或x ? a?

变型:
| ax ? b |? c(c ? 0)型的不等式的解集可以由?x | ?c ? ax ? b ? c?解得。其中-c<ax+b<c 等价于不

?ax ? b ? c 等式组 ??ax ? b ? ?c

在解-c<ax+b<c 得注意 a 的符号

ax ? b ? c(c ? 0) 型的不等式的解法可以由?x | ax ? b ? c,或ax ? b ? ?c?来解。

③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式:用“零点分区间法”分类讨论来解. ④绝对值不等式解法中常用几何法:即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
例题:求解不等式| x ? 2 |? 1

解:略
例题:求解不等式:| x ? 2 | ? | x ? 3 |? 10

解:零点分类讨论法:

10

?3

x 2

分别令 x ? 2 ? 0和x ? 3 ? 0 解得: x ? ?3和x ? 2

在数轴上,-3 和 2 就把数轴分成了三部分,如右上图

①当 x ? ?3 时,(去绝对值符号)原不等式化为:

??(x ? 2) ??x ? ?3

?

(

x

?

3)

?

10

?

?? x ? ?? x

? ?

? 11 2
?3

?

?

11 2

?

x

?

?3

②当 ?3 ? x ? 2 时,(去绝对值符号)原不等式化为:

??3 ? x ? 2 ???(x ? 2) ? (

x

?

3)

?

10

?

??3 ? x ??x ? R

?

2

?

?3

?

x

?

2

③当 x ? 2 时,(去绝对值符号)原不等式化为:

?x ? 2 ??(x ? 2) ? (x

? 3)

? 10

?

?? x

? ??

x

? ?

2 9 2

?

2

?

x

?

9 2

由①②③得原不等式的解集为: ??x | ? 11 ? x ? 9 ?? (注:是把①②③的解集并在一起)

?2

2?

y

函数图像法:

令 f (x) ?| x ? 2 | ? | x ? 3 |

f (x) =10

??2x ?1 (x ? ?3)

则有: f (x) ? ???5

(?3 ? x ? 2)

???2x ?1 (x ? 2)

5

? 11 ?3 o 2 9

x

2

2

在直角坐标系中作出此分段函数及 f (x) ? 10 的图像如图

由图像可知原不等式的解集为: ??x | ? 11 ? x ? 9 ??

?2

2?

4.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析: y
设 ax2+bx+c=0 的两根为?、? ,f(x)=ax2+bx+c,那么:

?? ? 0 ①若两根都大于 0,即? ? 0, ? ? 0 ,则有 ??? ? ? ? 0
??? ? ? ? 0
11

o

?

?x

对称轴 x= ? b 2a

?? ? 0

②若两根都小于

0,即 ?

?

0, ?

?

0

,则有 ???? ?

b 2a

?

0

?? f (0) ? 0

y

?

?

o

x

对称轴 x= ? b 2a

y
③若两根有一根小于 0 一根大于 0,即? ? 0 ? ? ,则有 f (0) ? 0

④若两根在两实数 m,n 之间,即 m ? ? ? ? ? n ,

?? ? 0

? ??m ? ?

b

?n

则有 ?

2a

? f (m) ? 0 ?

?? f (n) ? 0

⑤若两个根在三个实数之间,即 m ? ? ? t ? ? ? n ,

? f (m) ? 0

则有

? ?

f

(t)

?

0

?? f (n) ? 0

?

o

x
?

y

o

m?

?n x

X= ? b 2a

y

o m ? t? n x X= ? b 2a

常由根的分布情况来求解出现在 a、b、c 位置上的参数
例如:若方程 x2 ? 2(m ?1)x ? m2 ? 2m ? 3 ? 0 有两个正实数根,求 m 的取值范围。
12

?? ? 0

?4(m ?1)2 ? 4(m2 ? 2m ? 3) ? 0 ?m ? ?1

解:由①型得 ??? ? ? ? 0 ? ??2(m ?1) ? 0

? ??m ? ?1

? m?3

??? ? ? ? 0 ??m2 ? 2m ? 3 ? 0

??m ? ?1,或m ? 3

所以方程有两个正实数根时, m ? 3 。

又如:方程 x2 ? x ? m2 ?1 ? 0 的一根大于 1,另一根小于 1,求 m 的范围。

解:因为有两个不同的根,所以由

?? ? 0

? ?

f

(1)

?

0

?

??(?1)2 ? 4(m2 ?1) ? ???12 ?1? m2 ?1 ? 0

0

?

? ?? ?

5 2

?m?

???1 ? m ? 1

5 2?

?1 ? m ? 1

35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式.

36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.

37、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对 ?x, y ?,所有这

样的有序数对 ?x, y?构成的集合.

38、在*面直角坐标系中,已知直线 Ax ? ?y ? C ? 0 ,坐标*面内的点 ? ?x0 , y0 ?. ①若 ? ? 0 , Ax0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ?x0 , y0 ?在直线 Ax ? ?y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , Ax0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ?x0 , y0 ?在直线 Ax ? ?y ? C ? 0 的下方.

39、在*面直角坐标系中,已知直线 Ax ? ?y ? C ? 0 .

(一)由 B 确定:

①若 ? ? 0 ,则 Ax ? ?y ? C ? 0 表示直线 Ax ? ?y ? C ? 0 上方的区域; Ax ? ?y ? C ? 0 表示直线

Ax ? ?y ? C ? 0 下方的区域.

②若 ? ? 0 ,则 Ax ? ?y ? C ? 0 表示直线 Ax ? ?y ? C ? 0 下方的区域; Ax ? ?y ? C ? 0 表示直线

Ax ? ?y ? C ? 0 上方的区域.

(二)由 A 的符号来确定: 先把 x 的系数 A 化为正后,看不等号方向:
①若是“>”号,则 Ax ? ?y ? C ? 0 所表示的区域为直线 l: Ax ? ?y ? C ? 0 的右边部分。

②若是“<”号,则 Ax ? ?y ? C ? 0 所表示的区域为直线 l: Ax ? ?y ? C ? 0 的左边部分。
(三)确定不等式组所表示区域的步骤:
13

①画线:画出不等式所对应的方程所表示的直线

②定测:由上面(一)(二)来确定

③求交:取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。

?2x ? y ? 5 ? 0

例题:画出不等式组

? ?

y

?

3x

?

5

所表示的*面区域。

??2 y ? x ? 5 ? 0

解:略

40、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件.

目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式.

线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式.

线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.

可行解:满足线性约束条件的解 ?x, y?.

可行域:所有可行解组成的集合.

最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.

a?b

41、设 a 、 b 是两个正数,则

称为正数 a 、 b 的算术*均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何*均数.

2

42、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 a ? b ? ab . 2

43、常用的基本不等式:① a2 ? b2 ? 2ab ?a,b ? R?;② ab ? a2 ? b2 ?a,b ? R?;③
2

ab

?

? ??

a

? 2

b

?2 ??

?a

?

0,

b

?

0?;



a2

? b2 2

?

? ??

a

?b 2

?2 ??

?a,b ? R?.

44、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有:

⑴若 x ? y ? s (和为定值),则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值 s2 .⑵若 xy ? p (积为定值),则当 4

x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .

例题:已知 x ? 5 ,求函数 f (x) ? 4x ? 2 ? 1 的最大值。

4

4x ?5

解:∵ x ? 5 ,∴ 4x ? 5 ? 0 4

由原式可以化为:

14

f (x) ? 4x ? 5 ? 5 ? 2 ? 1 ? ?(5 ? 4x) ? 1 ? 3 ? ?[(5 ? 4x) ? 1 ] ? 3 ? ? (5 ? 4x) ? 1 ? 3 ? ?1? 3 ? 2

4x ?5

5? 4x

5? 4x

5? 4x

当 5 ? 4x ? 1 ,即 (5 ? 4x)2 ? 1 ? x ? 1,或x舍?去3)(

5? 4x

2

也就是说当 x ? 1 时有 f (x)max ? 2

时取到“=”号

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