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2015届高考数学第一轮知识点巩固题库第4讲定积分的概念与微积分基本定理(含解析)新人教A版

第 4 讲 定积分的概念与微积分基本定理

一、选择题

1.以初速度 40 m/s 竖直向上抛一物体,t 秒时刻的速度 v=40-10t2,则此物体达到最高时

的高度为( ).

A.1360 m

B.830 m

40 C. 3 m

20 D. 3 m

解析 v=40-10t2=0,t=2,??02(40-10t2)dt= ???40t-130t3??????20=40×2-130×8=1630

(m).

答案 A

2.已知 f(x)=2-|x|,则??2-1f(x)dx 等于

( ).

A.3

B.4

7 C.2

9 D.2

解析 f(x)=2-|x|=?????22- +xx??xx<≥00?,?,

∴??2-1f(x)dx=??0-1(2+x)dx+??2(2-x)dx= ??2x+x22????0-1+?? 2x-x22????20=32+2=72. 0
答案 C

3.函数 f(x)满足 f(0)=0,其导函数 f′(x)的图象如图所示, 则 f(x)的图象与 x 轴所围成的

封闭图形的面积为

( ).

1

4

A.3

B.3

C.2

8 D.3

解析 由导函数 f′(x)的图象可知函数 f(x)为二次函数,且对称轴为 x=-1,开口方向向 上.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),由 f(0)=0,得 c=0.f′(x)=2ax+b,因过点(-1,0)与(0,2),

则有???2a×?-1?+b=0, ??2a×0+b=2,

∴???a=1, ??b=2.

∴f(x)=x2+2x,则 f(x)的图象与 x 轴所围成的封闭图

形的面积为 S=??0-2(-x2-2x)dx= ??-13x3-x2????0-2=13×(-2)3+(-2)2=43.
答案 B

4.已知

n
a=?
i=1

1n???in???2,n∈N*,b=??01x2dx,则 a,b

的大小关系是(

).

A.a>b

B.a=b

C.a<b

D.不确定

答案 A

5.下列积分中

①??1e1xdx;②??2-2x dx;③??02

4-x2dx; π

④∫π2 0

cos 2x x-sin x

dx,积分值等于 1 的个数是(

).

A.1

B.2

C.3

D.4

解析 ①

??1e1xdx=ln

x??e1=1, ?

② ??2-2xdx=21x2???2-2=0,

③??02

4-x2dx= 1

π

π

1 (4π

22)=1,

④∫π2 02

cos 2x cos x-sin x

dx=12∫π2 0(cos x+sin x)dx

1 =2(sin

x-cos)|π2 0=1.

答案 C

6.如图所示,在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内,曲线 y=x2 和曲线 y= x围成一个叶形图(阴

影部分),向正方形 AOBC 内随机投一点(该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的),

则所投的点落在叶形图内部的概率是

( ).

1

1

1

1

A.2

B.6

C.4

D.3

解析 依题意知,题中的正方形区域的面积为 12=1,阴影区域的面积等于??1( x-x2)dx 0

= ??23x23-13x3????10=13,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于13,选 D.

答案 D

二、填空题

7.如果 10 N 的力能使弹簧压缩 10 cm,为在弹性限度内将弹簧拉长 6 cm,则力所做的功为 ______. 解析 由 F(x)=kx,得 k=100,F(x)=100x,W=∫00.06100xdx=0.18(J). 答案 0.18 J
8.曲线 y=1x与直线 y=x,x=2 所围成的图形的面积为____________.

3 答案 2-ln 2

9.已知 f(x)=?????21x++x12,,xx∈∈[[2-,24,] 2],

若??3f(x)dx=430(k<2).则 k=________. k

解析 ??3f(x)dx=??2(2x+1)dx+??3(1+x2)dx=430,所以得到 k2+k=0,即 k=0 或 k=-1.

k

k

2

答案 0 或-1

10.设 f(x)=xn+ax 的导函数为 f′(x)=2x+1 且??12f(-x)dx=m,则??mx+16??12 展开式中各项的
系数和为________.

解析 因为 f(x)=xn+ax 的导函数为 f′(x)=2x+1.故 n=2,a=1.所以??12f(-x)dx=??12(x2-

x)dx=??13x3- 12x2????21=56=m 所以??mx+16??12 展开式中各项的系数和为??56+16??12=1.

答案 1

三、解答题

11.已知 f(x)是一次函数,且??01f(x)dx=5,??01xf(x)dx=167,求??12f?xx?dx 的值.
解 ∵f(x)是一次函数,∴可设 f(x)=ax+b(a≠0).

∴??01f(x)dx=??01(ax+b)dx=??12ax2+bx?????01 =12a+b.
∴12a+b=5.①

又??1xf(x)dx=??1x(ax+b)dx

0

0

=??13ax3+21bx2?????10 =13a+12b.

∴13a+12b=167.②

解①②得 a=4,b=3,∴f(x)=4x+3,

∴??12f?xx?dx=??124x+x 3dx=??12??4+3x??dx
2
=(4x+3ln x)???1 =4+3ln 2.
12.如图所示,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分,求 k 的值. 解 抛物线 y=x-x2 与 x 轴两交点的横坐标为 x1=0,x2=1, 所以,抛物线与 x 轴所围图形的面积
S=??01(x-x2)dx= ??x22-31x3????01=16.
又抛物线 y=x-x2 与 y=kx 两交点的横坐标为 x3=0,x4=1-k,所以,
S2=∫10-k(x-x2-kx)dx=??? 1-2 kx2-31x3?????10-k
=16(1-k)3. 又知 S=16,所以(1-k)3=12,

于是 k=1-

3

12=1-

34 2.

13.在区间[0,1]上给定曲线 y=x2.试在此区间内确定点 t 的值,使图中的阴影部分的面积 S1 与 S2 之和最小,并求最小值. 解 面积 S1 等于边长为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线 y=x2 与 x 轴、直线 x=t 所围成的面积,

即 S1=t·t2-??t0x2dx=23t3.
S2 的面积等于曲线 y=x2 与 x 轴,x=t,x=1 围成的面积去掉矩形面积,矩形边长分别为 t2,1-t,

即 S2=??1x2dx-t2(1-t)=23t3-t2+13. t
所以阴影部分面积 S=S1+S2=43t3-t2+13(0≤t≤1).

令 S′(t)=4t2-2t=4t??t-21??=0 时,得 t=0 或 t=12.

t=0 时,S=13;t=12时,S=14;t=1 时,S=23.

所以当 t=12时,S 最小,且最小值为14.

14. 已知二次函数 f(x)=3x2-3x,直线 l1:x=2 和 l2:y=3tx(其中 t 为常数,且 0<t<1),

直线 l2 与函数 f(x)的图象以及直线 l1、l2 与函数 f(x)的图象所围成的封闭图形如图 K15-3, 设这两个阴影区域的面积之和为 S(t). (1)求函数 S(t)的解析式;
(2)定义函数 h(x)=S(x),x∈R.若过点 A(1,m)(m≠4)可作曲线 y=h(x)(x∈R)的三条切 线,求实数 m 的取值范围.

解析 (1)由???y=3x2-3x, 得 x2-(t+1)x=0, ??y=3tx

所以 x1=0,x2=t+1. 所以直线 l2 与 f(x)的图象的交点的横坐标分别为 0,t+1. 因为 0<t<1,所以 1<t+1<2.
所以 S(t)=∫t0+1[3tx-(3x2-3x)]dx+??2t+1[(3x2-3x)-3tx]dx

= ???

+ 2

x2-x3??????t0+1+

???x3-

+ 2

x2??????2t+1

=(t+1)3-6t+2. (2)依据定义,h(x)=(x+1)3-6x+2,x∈R, 则 h′(x)=3(x+1)2-6. 因为 m≠4,则点 A(1,m)不在曲线 y=h(x)上. 过点 A 作曲线 y=h(x)的切线,设切点为 M(x0,y0), 则 3(x0+1)2-6= x0+ x03--16x0+2-m, 化简整理得 2x30-6x0+m=0,其有三个不等实根. 设 g(x0)=2x30-6x0+m,则 g′(x0)=6x20-6. 由 g′(x0)>0,得 x0>1 或 x0<-1; 由 g′(x0)<0,得-1<x0<1, 所以 g(x0)在区间(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减, 所以当 x0=-1 时,函数 g(x0)取极大值; 当 x0=1 时,函数 g(x0)取极小值.

因此,关于 x0 的方程 2x30-6x0+m=0 有三个不等实根的充要条件是?????gg -

, ,

即?????mm+ -44><00, , 即-4<m<4. 故实数 m 的取值范围是(-4,4).



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