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丰城五中鄢志坚全等三角形证明经典50题(含答案)

丰城五中鄢志坚传
1. 已知:AB=4,AC=2,D 是 BC 中点,111749AD 是整数,求 AD A

B

C

D

解:延长 AD 到 E,使 AD=DE ∵D 是 BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中
AD=DE ∠BDE=∠ADC
BD=DC ∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE<AE<AB+BE ∵AB=4 即 4-2<2AD<4+2 1<AD<3 ∴AD=2

2. 已知:D 是 AB 中点,∠ACB=90°,求证: CD ? 1 AB 2
A

D

C

B

延长 CD 与 P,使 D 为 CP 中点。连接 AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形 ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB

3. 已知:BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F 是 CD 中点,求证:∠1=∠2
A 12

B

E

C

F

D

证明:连接 BF 和 EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形 BCF 全等于三角形 EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接 BE 在三角形 BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF。 ∵ ∠ABC=∠AED。 ∴ ∠ABE=∠AEB。 ∴ AB=AE。 在三角形 ABF 和三角形 AEF 中
AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形 ABF 和三角形 AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知:∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:EF=AC
A 12
F
C D E B
过 C 作 CG∥EF 交 AD 的延长线于点 G CG∥EF,可得,∠EFD=CGD DE=DC ∠FDE=∠GDC(对顶角) ∴△ EFD≌△CGD EF=CG

∠CGD=∠EFD 又,EF∥AB ∴,∠EFD=∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD=∠2 ∴△ AGC 为等腰三角形, AC=CG 又 EF=CG ∴EF=AC
5. 已知:AD 平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠C A
证明:延长 AB 取点 E,使 AE=AC,连接 DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠CAD ∵AE=AC,AD=AD ∴△AED≌△ACD (SAS) ∴∠E=∠C ∵AC=AB+BD ∴AE=AB+BD ∵AE=AB+BE ∴BD=BE ∴∠BDE=∠E ∵∠ABC=∠E+∠BDE ∴∠ABC=2∠E ∴∠ABC=2∠C
6. 已知:AC 平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE

证明: 在 AE 上取 F,使 EF=EB,连接 CF ∵CE⊥AB ∴∠CEB=∠CEF=90° ∵EB=EF,CE=CE, ∴△CEB≌△CEF ∴∠B=∠CFE ∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180° ∴∠D=∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC=∠FAC ∵AC=AC ∴△ADC≌△AFC(SAS) ∴AD=AF ∴AE=AF+FE=AD+BE
7. 已知:AB=4,AC=2,D 是 BC 中点,AD 是整数,求 AD
A

B

C

D

解:延长 AD 到 E,使 AD=DE ∵D 是 BC 中点 ∴BD=DC 在△ ACD 和△ BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC

BD=DC ∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ ABE 中 AB-BE<AE<AB+BE ∵AB=4 即4-2<2AD<4+2 1<AD<3 ∴AD=2
8. 已知:D 是 AB 中点,∠ACB=90°,求证: CD ? 1 AB 2
A
D

C

B

解:延长 AD 到 E,使 AD=DE ∵D 是 BC 中点 ∴BD=DC 在△ ACD 和△ BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ ABE 中 AB-BE<AE<AB+BE ∵AB=4 即4-2<2AD<4+2 1<AD<3 ∴AD=2

9. 已知:BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F 是 CD 中点,求证:∠1=∠2

A 12

B

E

C

F

D

证明:连接 BF 和 EF。 ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。 ∴ 三角形 BCF 全等于三角形 EDF(边角边)。 ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF。 连接 BE。 在三角形 BEF 中,BF=EF。 ∴ ∠EBF=∠BEF。 又∵ ∠ABC=∠AED。 ∴ ∠ABE=∠AEB。 ∴ AB=AE。

在三角形 ABF 和三角形 AEF 中,
AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。 ∴ 三角形 ABF 和三角形 AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

10. 已知:∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:EF=AC
A 12
F
C D E B
过 C 作 CG∥EF 交 AD 的延长线于点 G CG∥EF,可得,∠EFD=CGD DE=DC ∠FDE=∠GDC(对顶角) ∴△ EFD≌△CGD EF=CG

∠CGD=∠EFD 又 EF∥AB ∴∠EFD=∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD=∠2 ∴△ AGC 为等腰三角形, AC=CG 又 EF=CG ∴EF=AC 11. 已知:AD 平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠C
A

C

B

D

证明:延长 AB 取点 E,使 AE=AC,连接 DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠CAD ∵AE=AC,AD=AD ∴△AED≌△ACD (SAS) ∴∠E=∠C ∵AC=AB+BD ∴AE=AB+BD ∵AE=AB+BE ∴BD=BE ∴∠BDE=∠E ∵∠ABC=∠E+∠BDE ∴∠ABC=2∠E ∴∠ABC=2∠C 12. 已知:AC 平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE

在 AE 上取 F,使 EF=EB,连接 CF ∵CE⊥AB ∴∠CEB=∠CEF=90° ∵EB=EF,CE=CE, ∴△CEB≌△CEF ∴∠B=∠CFE ∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180° ∴∠D=∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC=∠FAC 又∵AC=AC ∴△ADC≌△AFC(SAS) ∴AD=AF ∴AE=AF+FE=AD+BE
12. 如图,四边形 ABCD 中,AB∥DC,BE、CE 分别平分∠ABC、∠BCD,且点 E 在 AD 上。求证:BC=AB+DC。
在 BC 上截取 BF=AB,连接 EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE≌⊿FBE(SAS) ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180? ∵∠BFE+∠CFE=180? ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCE
CE 平分∠BCD CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE(AAS) ∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD

13.已知:AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证:∠F=∠C

E

D

C F

A

B

AB‖ED,得:∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180 度, ∵∠EAB=∠BDE, ∴∠AED=∠ABD, ∴四边形 ABDE 是平行四边形。 ∴得:AE=BD, ∵AF=CD,EF=BC, ∴三角形 AEF 全等于三角形 DBC, ∴∠F=∠C。 14. 已知:AB=CD,∠A=∠D,求证:∠B=∠C

A

D

B

C

证明:设线段 AB,CD 所在的直线交于 E,(当 AD<BC 时,E 点是射线 BA,CD 的交点,当 AD>BC 时,E 点是射线 AB,DC 的交点)。则: △AED 是等腰三角形。 ∴AE=DE 而 AB=CD ∴BE=CE (等量加等量,或等量减等量) ∴△BEC 是等腰三角形 ∴∠B=∠C.

15. P 是∠BAC 平分线 AD 上一点,AC>AB,求证:PC-PB<AC-AB C

A

P

D

B

在 AC 上取点 E, 使 AE=AB。

∵AE=AB AP=AP ∠EAP=∠BAE,
∴△EAP≌△BAP ∴PE=PB。 PC<EC+PE ∴PC<(AC-AE)+PB ∴PC-PB<AC-AB。
16. 已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:AC-AB=2BE
证明: 在 AC 上取一点 D,使得角 DBC=角 C ∵∠ABC=3∠C ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C; ∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C; ∴AB=AD ∴AC – AB =AC-AD=CD=BD 在等腰三角形 ABD 中,AE 是角 BAD 的角平分线, ∴AE 垂直 BD ∵BE⊥AE ∴点 E 一定在直线 BD 上, 在等腰三角形 ABD 中,AB=AD,AE 垂直 BD ∴点 E 也是 BD 的中点 ∴BD=2BE ∵BD=CD=AC-AB ∴AC-AB=2BE
17. 已知,E 是 AB 中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求 DC

D

F

C

A

E

B

∵作 AG∥BD 交 DE 延长线于 G ∴AGE 全等 BDE ∴AG=BD=5 ∴AGF∽CDF
AF=AG=5 ∴DC=CF=2

18.如图,在△ABC 中,BD=DC,∠1=∠2,求证:AD⊥BC.

解:延长 AD 至 BC 于点 E, ∵BD=DC ∴△BDC 是等腰三角形 ∴∠DBC=∠DCB 又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC 是等腰三角形 ∴AB=AC 在△ ABD 和△ ACD 中 {AB=AC ∠1=∠2 BD=DC ∴△ABD 和△ ACD 是全等三角形(边角边) ∴∠BAD=∠CAD ∴AE 是△ ABC 的中垂线 ∴AE⊥BC ∴AD⊥BC
19.如图,OM 平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B 为垂足,AB 交 OM 于点 N. 求证:∠OAB=∠OBA

证明: ∵OM 平分∠POQ ∴∠POM=∠QOM

∵MA⊥OP,MB⊥OQ ∴∠MAO=∠MBO=90 ∵OM=OM ∴△AOM≌△BOM (AAS) ∴OA=OB ∵ON=ON ∴△AON≌△BON (SAS) ∴∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB=180 ∴∠ONA=∠ONB=90 ∴OM⊥AB 20.(5 分)如图,已知 AD∥BC,∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于 E,CE 的连线 交 AP 于 D.求证:AD+BC=AB.

P

C

E

D


BE 的延长线,与 AP 相交于 F 点,

∵PA//BC

A

B ∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,BE 均为∠PAB 和∠CBA

的角平分线

∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB 为直角三角形

在三角形 ABF 中,AE⊥BF,且 AE 为∠FAB 的角平分线

∴三角形 FAB 为等腰三角形,AB=AF,BE=EF

在三角形 DEF 与三角形 BEC 中,

∠EBC=∠DFE,且 BE=EF,∠DEF=∠CEB,

∴三角形 DEF 与三角形 BEC 为全等三角形,∴DF=BC

∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

21.如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线,且 AB=AC+CD,求证:∠C=2∠B
A

C D
延长 AC 到 E ∵ AB=AC+CD ∴ CD=CE 可得∠B=∠E △CDE 为等腰 ∠ACB=2∠B

B
使 AE=AC 连接 ED

22.(6 分)如图①,E、F 分别为线段 AC 上的两个动点,且 DE⊥AC 于 E,BF⊥AC 于 F, 若 AB=CD,AF=CE,BD 交 AC 于点 M. (1)求证:MB=MD,ME=MF (2)当 E、F 两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立 请给予证明;若不成立请说明理由.

(1)连接 BE,DF. ∵DE⊥AC 于 E,BF⊥AC 于 F, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF, 在 Rt△ DEC 和 Rt△ BFA 中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△ DEC≌Rt△ BFA(HL), ∴DE=BF. ∴四边形 BEDF 是平行四边形. ∴MB=MD,ME=MF; (2)连接 BE,DF. ∵DE⊥AC 于 E,BF⊥AC 于 F, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF, 在 Rt△ DEC 和 Rt△ BFA 中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△ DEC≌Rt△ BFA(HL), ∴DE=BF. ∴四边形 BEDF 是平行四边形. ∴MB=MD,ME=MF.

23.已知:如图,DC∥AB,且 DC=AE,E 为 AB 的中点, (1)求证:△AED≌△EBC. (2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC 外,请再写出两个与△AED 的面 A 积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):

E

O

D

B

C

证明: ∵DC∥AB ∴∠CDE=∠AED ∵DE=DE,DC=AE ∴△AED≌△EDC ∵E 为 AB 中点 ∴AE=BE ∴BE=DC ∵DC∥AB ∴∠DCE=∠BEC ∵CE=CE ∴△EBC≌△EDC ∴△AED≌△EBC 24.(7 分)如图,△ABC 中,∠BAC=90 度,AB=AC,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长 线垂直于过 C 点的直线于 E,直线 CE 交 BA 的延长线于 F.
求证:BD=2CE.
F

A

E

D 证明:

B

C ∵∠CEB=∠CAB=90°

∴ABCE 四点共元

∵∠AB E=∠CB E

∴AE=CE

∴∠ECA=∠EAC

取线段 BD 的中点 G,连接 AG,则:AG=BG=DG

∴∠GAB=∠ABG

而:∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等)

∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB

而:AC=AB

∴△AEC≌△AGB ∴EC=BG=DG ∴BE=2CE 25、如图:DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。求证:△AED≌△BFC。

D

EF

C

A

B

证明:∵DF=CE, ∴DF-EF=CE-EF, 即 DE=CF, 在△ AED 和△ BFC 中, ∵ AD=BC, ∠D=∠C ,DE=CF ∴△AED≌△BFC(SAS) 26、(10 分)如图:AE、BC 交于点 M,F 点在 AM 上,BE∥CF,BE=CF。
求证:AM 是△ABC 的中线。

A

F

B

M

C

E

证明: ∵BE‖CF ∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM≌△CFM ∴BM=CM ∴AM 是△ABC 的中线.

27、(10 分)如图:在△ABC 中,BA=BC,D 是 AC 的中点。求证:BD⊥AC。
A D
B C
∵△ABD 和△BCD 的三条边都相等 ∴△ABD=△BCD ∴∠ADB=∠CD ∴∠ADB=∠CDB=90° ∴BD⊥AC 28、(10 分)AB=AC,DB=DC,F 是 AD 的延长线上的一点。求证:BF=CF
A

D

B

C

F
在△ABD 与△ACD 中 AB=AC BD=DC AD=AD ∴△ABD≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF 与△FDC 中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF ∴△FBD≌△FCD ∴BF=FC

29、(12 分)如图:AB=CD,AE=DF,CE=FB。求证:AF=DE。

A

B

F

E

C

D

∵AB=DC AE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB ∴△ABE=△CDF ∵∠DCB=∠ABF AB=DC BF=CE △ABF=△CDE ∴AF=DE 30.公园里有一条“Z”字形道路 ABCD,如图所示,其中 AB∥CD,在 AB,CD,BC 三段路 旁各有一只小石凳 E,F,M,且 BE=CF,M 在 BC 的中点,试说明三只石凳 E,F,M 恰 好在一条直线上.

证明:连接 EF ∵AB∥CD ∴∠B=∠C ∵M 是 BC 中点 ∴BM=CM 在△ BEM 和△ CFM 中
BE=CF ∠B=∠C
BM=CM ∴△BEM≌△CFM(SAS) ∴CF=BE 31.已知:点 A、F、E、C 在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证:△ ABE≌△CDF.

∵AF=CE,FE=EF. ∴AE=CF. ∵DF//BE, ∴∠AEB=∠CFD(两直线平行,内错角相等) ∵BE=DF ∴:△ ABE≌△CDF(SAS)

32.已知:如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F 分别是 DC、BC 的中点,求证: AE=AF。

D E

A

C

F

c

B

连接 BD; ∵AB=AD BC=D ∴∠ADB=∠ABD ∠CDB=∠ABD;两角相加,∠ADC=∠ABC; ∵BC=DC E\F 是中点 ∴DE=BF; ∵AB=AD DE=BF ∠ADC=∠ABC ∴AE=AF。 33.如图,在四边形 ABCD 中,E 是 AC 上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6.

D

A

1 2

5 E6

3 4

C

B

证明: 在△ADC,△ABC 中

∵AC=AC,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA ∴△ADC≌△ABC(两角加一边) ∵AB=AD,BC=CD 在△DEC 与△BEC 中 ∠BCA=∠DCA,CE=CE,BC=CD ∴△DEC≌△BEC(两边夹一角) ∴∠DEC=∠BEC
34.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C 在AF 上,且AD=CF,求证:△ABC≌△DEF.

∵AD=DF ∴AC=DF ∵AB//DE ∴∠A=∠EDF 又∵BC//EF ∴∠F=∠BCA ∴△ ABC≌△DEF(ASA)

35.已知:如图,AB=AC,BD AC,CE AB,垂足分别为 D、E,BD、CE 相交于点 F, 求证:BE=CD.

C D
F

E

A

B

证明: ∵BD⊥AC ∴∠BDC=90° ∵CE⊥AB ∴∠BEC=90° ∴∠BDC=∠BEC=90° ∵AB=AC ∴∠DCB=∠EBC ∴BC=BC ∴Rt△BDC≌Rt△BEC(AAS) ∴BE=CD
36、如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F。 求证:DE=DF.
A

E F

B

D

C

证明:

∵AD 是∠BAC 的平分线 ∴∠EAD=∠FAD ∵DE⊥AB,DF⊥AC ∴∠BFD=∠CFD=90° ∴∠AED 与∠AFD=90° 在△AED 与△AFD 中 ∠EAD=∠FAD

AD=AD ∠AED=∠AFD ∴△AED≌△AFD(AAS)
∴AE=AF

在△AEO 与△AFO 中 ∠EAO=∠FAO AO=AO
AE=AF ∴△AEO≌△AFO(SAS) ∴∠AOE=∠AOF=90° ∴AD⊥EF

37.已知:如图, AC ? BC 于 C , DE ? AC 于 E , AD ? AB 于 A , BC =AE.若 AB = 5 ,求 AD 的
长?
A

E

D

B

C

∵AD⊥AB ∴∠BAC=∠ADE 又∵AC⊥BC 于 C,DE⊥AC 于 E 根据三角形角度之和等于180度 ∴∠ABC=∠DAE ∵BC=AE,△ABC≌△DAE(ASA) ∴AD=AB=5

38.如图:AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为 E、F,ME=MF。求证:MB=MC

A

E

F

B

M

C

证明: ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵ME⊥AB,MF⊥AC ∴∠BEM=∠CFM=90° 在△BME 和△CMF 中 ∵ ∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF ∴△BME≌△CMF(AAS) ∴MB=MC.
39.如图,给出五个等量关系:① AD ? BC ② AC ? BD ③ CE ? DE ④ ?D ? ?C ⑤ ?DAB ? ?CBA.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结
论(只需写出一种情况),并加以证明. 已知:①AD=BC,⑤∠DAB=∠CBA 求证:△ DAB≌△CBA 证明:∵AD=BC,∠DAB=∠CBA 又∵AB=AB ∴△DAB≌△CBA

40.在△ABC 中, ?ACB ? 90? , AC ? BC ,直线 MN 经过点 C ,且 AD ? MN 于 D , BE ? MN 于 E .(1)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时,求证: ① ?ADC ≌ ?CEB ; ② DE ? AD? BE ; (2)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;
若不成立,说明理由.

(1) ①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°,

∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∠ACD+∠BCE=90°. ∴∠CAD=∠BCE. ∵AC=BC, ∴△ADC≌△CEB. ②∵△ADC≌△CEB, ∴CE=AD,CD=BE. ∴DE=CE+CD=AD+BE. (2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°, ∴∠ACD=∠CBE. 又∵AC=BC, ∴△ACD≌△CBE. ∴CE=AD,CD=BE. ∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE
41.如图所示,已知 AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。求证:(1)EC=BF;(2)EC⊥BF

F

E

A

M

B

C

(1)∵AE⊥AB,AF⊥AC, ∴∠BAE=∠CAF=90°, ∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC, 即∠EAC=∠BAF, 在△ABF 和△AEC 中, ∵AE=AB,∠EAC=∠BAF,AF=AC, ∴△ABF≌△AEC(SAS), ∴EC=BF;
(2)如图,根据(1),△ABF≌△AEC, ∴∠AEC=∠ABF, ∵AE⊥AB, ∴∠BAE=90°, ∴∠AEC+∠ADE=90°, ∵∠ADE=∠BDM(对顶角相等), ∴∠ABF+∠BDM=90°, 在△BDM 中,∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°, ∴EC⊥BF.

42.如图:BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。求证:(1)AM=AN;(2)AM⊥AN。

N

A

4

3

F

E

1

M2

B

C

证明: (1) ∵BE⊥AC,CF⊥AB ∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC,CN=AB ∴△ABM≌△NAC ∴AM=AN

(2) ∵△ABM≌△NAC ∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM⊥AN

43.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF

在△ABF 和△CDE 中 ,AB=DE ∠A=∠D AF=CD ∴△ABF≡△CDE(边角边) ∴FB=CE 在四边形 BCEF 中 FB=CE BC=EF ∴四边形 BCEF 是平行四边形 ∴BC‖EF 44.如图,已知 AC∥BD,EA、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA,CD 过点 E,则 AB 与 AC+BD
相等吗?请说明理由
在 AB 上取点 N ,使得 AN=AC ∵∠CAE=∠EAN ∴AE 为公共, ∴△CAE≌△EAN ∴∠ANE=∠ACE 又∵AC 平行 BD ∴∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180 ∴∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN ∵BE 为公共边 ∴△EBN≌△EBD

∴BD=BN ∴AB=AN+BN=AC+BD 45、(10 分) 如图,已知: AD 是 BC 上的中线 ,且 DF=DE.求证:BE∥CF.

证明: ∵AD 是△ABC 的中线 BD=CD ∵DF=DE(已知) ∠BDE=∠FDC ∴△BDE≌△FDC 则∠EBD=∠FCD ∴BE∥CF(内错角相等,两直线平行)。 46、(10 分)已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F 是垂足, DE ? BF . 求证: AB∥CD .

D

C

F

E

A

B

证明: ∵DE⊥AC,BF⊥AC ∴∠CED=∠AFB=90? 又∵AB=CD,BF=DE ∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE(HL) ∴AF=CE ∠BAF=∠DCE ∴AB//CD

47、(10 分)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AB=CD

A

D

.
1
3
B

2 4
C

∵,∠3=∠4 ∴OB=OC 在△AOB 和△DOC 中 ∠1=∠2

OB=OC

∠AOB=∠DOC

△AOB≌△DOC

∴AO=DO

AO+OC=DO+OB

AC=DB

在△ACB 和△DBC 中

AC=DB

,∠3=∠4

BC=CB

△ACB≌△DBC ∴AB=CD 48、 (10 分)如图,已知 AC⊥AB,DB⊥AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段 CE 与 DE

的大小与位置关系,并证明你的结论.

C

D

A

E

B

CE>DE。当∠AEB 越小,则 DE 越小。 证明: 过 D 作 AE 平行线与 AC 交于 F,连接 FB 由已知条件知 AFDE 为平行四边形,ABEC 为矩形 ,且△DFB 为等腰三角形。 RT△BAE 中,∠AEB 为锐角,即∠AEB<90° ∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90° △DFB 中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45° RT△AFB 中,∠FBA=90°-∠DBF <45° ∠AFB=90°-∠FBA>45° ∴AB>AF ∵AB=CE AF=DE ∴CE>DE

49、 (10 分)如图,已知 AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证:AE=DE.

A

D

BE

C

∵AB=DC,AC=DB,BC=BC ∴△ABC≌△DCB, ∴∠ABC=∠DCB 又∵BE=CE,AB=DC ∴△ABE≌△DCE ∴AE=DE

50.如图 9 所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD 是 BC 边上的中线,过 C 作 AD 的垂线,交 AB 于点 E,交 AD 于点 F,求证:∠ADC=∠BDE.
C

FD

A

E

B

图9

作 CG⊥AB,交 AD 于 H, 则∠ACH=45?,∠BCH=45? ∵∠CAH=90?-∠CDA, ∠BCE=90?-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE 又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45? ∴△ACH≌△CBE, ∴CH=BE 又∵∠DCH=∠B=45?, CD=DB ∴△CFD≌△BED ∴∠ADC=∠BDE



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