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实验报告——激光束光学特性的实验测量

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实验报告
一、实验题目:激光束光学特性的实验测量 二、实验内容及部分原理:
测量激光束质量因子 M2、光束束腰大小 w0、位置 z0 和光束远场发散角 高斯光束在自由空间的传播满足方程(1)

w 2 (z ) z 2 ? 2 =1 2 w0 Z0
方程(1)中, Z 0 =
2 2 πw0 称为瑞利尺寸或共焦参数。 λ

(1)

沿光轴方向,任一位置 z 处的光斑半径可由公式(2)描述

? λ w (z ) = w + ? ? πw ? 0
2 2 0

? ? ( z ? z 0 )2 ? ?

2

(2)

其中,w0 是光束的束腰半径,λ 为光波长,z0 是束腰的位置。 激光束质量因子 M2 作为评价参量, 其定义为

M2 =

实际光束束腰宽度 × 远场发散角 理想高斯光束腰束宽度 × 远场发散角
M2 =

(3)

具体表示为

πW0θ λ

(4)

其中,W0 是实际光束的束腰半径,θ 是其远场发散角。因此,对于实际激光束,其光斑 方程可以写为

? λ W (z ) = W + M ? ? πW ? 0
2 2 0 4

? ? ( z ? z 0 )2 ? ?
πW0 yθ 0 y λ

2

(5)

公式(4)和(5)可以取 x 和 y 方向分量表达形式。
2 Mx =

πW0 xθ 0 x , λ
2 0x 4 x

2 My =

(6)

? λ W (z ) = W + M ? ? πW ? 0x
2 x

? ? ( z ? z 0 x )2 ? ?
? ? (z ? z 0 y )2 ? ?
2

2

(7)

W

2 y

(z ) = W

2 0y

? λ +M ? ? πW ? 0y
4 y

(8)

因此,依据公式(4)或(6) 2 的测量归结为光束束腰半径 W0 和远场发散角θ 的测量确 ,M 定。

为了在测量中确定光束的有效宽度 W,目前多采用光功率分布的二阶矩测量法。

W x ( z ) = 2σ x ( z ),

W y ( z ) = 2σ y ( z )

(9)

其中, σ x ( z )和σ y ( z ) 称为光功率函数的二阶矩,定义为

σ σ

2 x

2 y

(x ? x ) ? I (x, y )dxdy (z ) = ∫∫ ∫∫ I (x, y )dxdy (y ? y ) ? I (x, y )dxdy (z ) = ∫∫ ∫∫ I (x, y )dxdy
2 g 2 g

(10)

(11)

由于实际测量是逐点进行的,因此,公式(10)和(11)可变换为离散形式

σ (z ) =
2 x

∑ [(x
i

i

? x g ) ? I ( xi , y i )
2

]
(12)

∑ I (x , y )
i i i 2 j

σ (z ) =
2 y

∑ [(y
j

? y g ) ? I (x j , y j )
j

]
(13)

∑ I (x j , y j )

其中, g 是光束横截面的重心。 y 一般情况下, 光束横截面的强度分布是非均匀或非轴对称的, 故存在一个强度的重心。该重心可表示为

xg

∑ [x ? I (x , y )] = ∑ I (x , y )
i i i i i i i

(14)

yg

∑ [y ? I (x , y )] = ∑ I (x , y )
i j j j j j j

(15)

因此,通过测量出不同距离 z 的光束截面上各点(x,y)的光强,依据公式(12)-(15)便 可求出 x 和 y 方向光功率函数的二阶矩。然后通过公式(9)获得光束半径 W。 为了求出光束的束腰大小、位置以及光束远场发散角,在获得不同位置处的光斑半径后,可 以采用双曲线拟合的方法测量激光束,拟合公式为:

W 2 = Az 2 + Bz + C

(16) (17) (18)

W0 = C ? B 2 4 A

θ= A

z0 = ?

B 2A

(19)

通过公式(16) ,求得拟合系数 A、B 和 C。然后由公式(17)-(19)便可求出光束束腰的 半径 W0、位置 z0 和发散角θ, 从而最终求出质量因子 M2。注意,在分别求解 x 方向和 y 方向的分量时,公式(16)-(19)的形式不变,其中的所有参数分别写成 x 和 y 的分量形 式。

三、测量数据及计算结果
将 CCD 每移动 15.0cm 设置一副图像分别编号为 0、1、2、3、4、5, 应用 imageJ 软件分析六幅图像记录下数据,应用 EXCEL 记录并处理数据结果如下: 图0 图1

图2

图3

图4

图5

由以上所得数据可以得出以下数据列表

由于计算 W 时 x,y 使用的是所摄制的相片的像素值,所以计算所得 W 值与实际 W 值存在 一定的比例即 W=W 真/k,从而计算所得的 A、B、C,均为实际值的 1/k2。 由W
2

= Az 2 + Bz + C ,采用抛物线拟合,应用 C 语言程序如下:

#include <math.h> #include <stdio.h> void spir(int n,int m,double x[],double y[],double a[], double dt[]) { int i,j,k; double alpha,p,q,g,w,beta,d1,d2,s[20],t[20],b[20]; for (i=0; i<=m-1;i++) a[i]=0.0; if (m>n) m=n; if (m>20) m=20; b[0]=1.0;d1=n; alpha=0.0;q=0.0; for (i=0;i<=n-1;i++) {alpha=alpha+x[i];q=q+y[i];} q=q/d1; //q0 alpha=alpha/d1; //alpha(0) a[0]=q*b[0]; if (m>1) { t[1]=1.0;t[0]=-alpha; d2=0.0;q=0.0;g=0.0; for (i=0;i<=n-1;i++) //计算 q1,alpha(1)与 d1 {

w=x[i]-alpha; d2=d2+w*w; q=q+y[i]*w; g=g+x[i]*w*w; } q=q/d2; alpha=g/d2; beta=d2/d1; d1=d2; a[1]=q*t[1]; a[0]=q*t[0]+a[0]; //q1 //alpha(1) //计算 beta(1)

} for (j=2;j<=m-1;j++) //递推计算 Qj(x) { s[j]=t[j-1]; s[j-1]=-alpha*t[j-1]+t[j-2]; if (j>=3) for (k=j-2;k>=1;k--) s[k]=-alpha*t[k]+t[k-1]-beta*b[k]; s[0]=-alpha*t[0]-beta*b[0]; d2=0.0; q=0.0; g=0.0; for (i=0; i<=n-1;i++) //计算 qj,alpha(j)与 dj { w=s[j]; for (k=j-1;k>=0;k--) w=w*x[i]+s[k]; d2=d2+w*w; q=q+y[i]*w; g=g+x[i]*w*w; } q=q/d2; //qj alpha=g/d2; //alpha(j) beta=d2/d1; //计算 beta(j) d1=d2; a[j]=q*s[j];t[j]=s[j]; for (k=j-1;k>=0;k--) { a[k]=q*s[k]+a[k]; b[k]=t[k];t[k]=s[k]; } } dt[0]=0.0; dt[1]=0.0;dt[2]=0.0; for (i=0;i<=n-1;i++) { w=a[m-1]; for (k=m-2;k>=0;k--) w=a[k]+w*x[i]; p=w-y[i];

if (fabs(p)>dt[2]) dt[2]=fabs(p); dt[0]=dt[0]+p*p; dt[1]=dt[1]+fabs(p); } return; } void main() { int i; double a[3],dt[3]; double x[6]={0,15,30,45,60,75}; double y[6]={68597.98,72462.76,77000.37,82534.58,87507.65,95804.31}; spir(6,3,x,y,a,dt); for (i=0; i<=2; i++) printf("a(%2d)=%f\n",i,a[i]); for (i=0; i<=2; i++) printf("dt(%2d)=%f ",i,dt[i]); printf("\n"); return; } 输出结果为 a(0)=68738.215714 a(1)=213.350771 a(2)=1.896924 dt(0)=1074767.867166 dt(1)=2001.546857 dt(2)=860.537714 其中 A=a(2),B=a(1),C=a(0),dt(0)返回拟合多项式与数据点误差的*方和,dt(1)返回拟合多项 式与数据点误差的绝对值之和,dt(2)返回拟合拟合多项式与数据点误差绝对值的最大值。 即得 A=1.897,B=213.351,C=68738.216。 所以 W0=250.478 W0 真=250.478k z0=-56.234cm θ=1.377 θ 真=1.377k M2=1083.56k2/λ K=0.00052cm λ=532nm,则 M2=5.52。

四、测量误差分析
误差的来源主要有以下几个方面: 1.激光与 CCD 不垂直,移动中 CCD 方向有所变化;2.激光没有很好的自准直;3.CCD 移动 距离不很准确;4.用 imageJ 分析光斑时取点有限,可能与实际有差距;5.多项式拟合过程存 在计算误差;6.k 值没有给出只是一个估计值,误差可能会很大;7.所摄图像光斑上有黑色 斑点。 误差分析: 1.激光与 CCD 不垂直导致光斑不圆,从而 x,y 方向所求 Wx,Wy 不同,但经两方向综合 结果误差不大,移动时 CCD 方向变化会导致几组图像光斑形状不同,从图像和数据来看我

们所做实验这方面误差较小。而且,以上情况还会导致 z 的测量出现误差。 2.激光没有很好的自准直, 主要由于仪器的限制, 激光器基本上被固定, 难以改变它的方向。 经观察激光方向偏向上偏向里。以上情况导致 z 的测量值不准确,并且使光斑形状不理想。 3.移动 CCD 距离的测量我们是以基座孔为参考。 两个基座孔间的距离为 2.5cm, 误差在 0.1cm 左右,每次取六孔,误差大概为 0.6cm,再加上以上两点的误差,z 值的误差应该在 0.8cm 左右,这是一个很可观的误差,它会影响到 A、B、C 的计算值,从而影响最终结果。 4.用 imageJ 分析光斑时取点有限,这一点误差是不可避免的,它与每个人取点的位置也有 关系,但这个误差应该不会很大。 5.多项式拟合过程存在计算误差,由于知识、能力有限,不能分析误差大小。 6.k 值没有给出只是一个估计值,误差可能会很大。k 值可能是我们没有记录。 7.所摄图像光斑上有黑色斑点。这个斑点由在几个图像位置基本相同可以判定应该是 CCD 上存在污点。这个黑斑会使它周围一定范围内的区域光强(灰度)比实际弱,从而使这个区 域内的测量点的测量值较实际值小,从而影响结果。 附:CCD 记录光斑 000

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