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浙江省湖州市2018-2019学年第二学期期中考试高二数学试卷(PDF版)

2018 学年浙江省湖州市第二学期期中考试高二数学试卷
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1.函数 y ?

2x ? 3 ?

A. [ , ??)

3 2

1 的定义域为 x?3

B. ( ??,3) ? (3, ??)

C. [ ,3) ? (3, ?? )

3 2

D. (3, ??)

2.设复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 2i ,则 z ? A. ?1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i D. 1 ? i

3.甲、乙、丙、丁四人站成一排,则甲、乙相邻的排法种数是 A. 4 4.已知函数 f ( x) ? ? B.6 C.12 ,则下列结论正确的是 B. f ( x ) 是增函数 D. f ( x ) 的值域为 [ ?1, ??) D.24

? x 2 ? 1, x ? 0

?cos x, x ? 0

A. f ( x ) 是偶函数 C. f ( x ) 是周期函数 5.曲线 y ? xe A. 2e
x ?1

在点 (1,1) 处切线的斜率等于 B. 2 C. e D.1

6. 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , f (1) ? 5 且 f ( x ? 4) ? ? f ( x ) , 则

f (2012) ? f (2019) 的值为(
A. ? 5
2 5

) C. 0 D. 5 )

B. 2
4

7.若 ( ax ? 1) 的展开式中 x 的系数为 ? 40 ,则 a 的值为( A. ? 1 B. 2 C. ? 2 D. ? 2

8. 函数 y ? f ( x ) 的图像如图①所示,则图②对应的解析式可以表示为(



① A. y ? f (| x |) B. y ?| f ( x ) |

② C. y ? f ( ? | x |)
'

D. y ? ? f (| x |)
'

9.设奇函数 f ( x ), ( x ? R ) 的导函数为 f ( x ) , 且 f ( ?1) ? 0 , 当 x ? 0 时,xf ( x ) ? f ( x ) ? 0 , 则使得 f ( x ) ? 0 成立的 x 的取值范围是( A. ( ??,?1) ? ( ?1,0) B. (0,1) ? (1,?? )
2

) C. ( ??,?1) ? (0,1) D. ( ?1,0) ? (1,?? )

10. 已知二次函数 f ( x ) ? x ? bx ? c (b, c ? R ) ,若 f ( x ) 在区间 ( 2,3) 上有两个零点,则

2b ? c 的取值范围为(
A. ( ?4,?3)

) C. [ ?4,3) D. ( ?4,?3]

B. ( ?4,3)

二.填空题(本大题共 7 小题,多空题每空 3 分,单空题每题 4 分,共 36 分) 11. 设全集 U ? ? 1,2,3,4,5?, A ? ? 1,2?, B ? ?4,5?,则 A ? B ? 12. 已知复数 z ? (1 ? i )(1 ? 2i ) ,其中 i 是虚数单位,则 z 的模是 为 .
3 2

, (CU A) ? B ?

.

, z 的共轭复数

13. 计算: C8 ? A5 ? 14. 若 ( x ? 常数项为

,3

1? log3 2

? log 2 e ? ln 2 ?

. ,展开式中的

2 n ) 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大,则 n ? x
.

15. 将 5 个不同的小球放到 4 个不同的盒子里,要求每个盒子都不空,则不同的方法种数为 . 16. 已知函数 f ( x ) ? ?

?e x , x ? 0 ? x ? 2 x ? 1, x ? 0
2

,则函数 g ( x ) ? f ( f ( x )) ?

1 的零点个数为 2

.

17. 已知 a ? R ,函数 f ( x ) ? x ? 围是 .

16 ? a ? a 在区间 [2,5] 上的最大值为 10 ,则 a 的取值范 x

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题 14 分)从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加座谈会,问: (1)如果 4 人中男生和女生各选 2 人,有多少种选法? (2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内,有多少种选法? (3)如果 4 人中必须既有男生又有女生,有多少种选法?

19. (本题 15 分) 设函数 f ( x ) ? ln x ? ax ? bx ( a , b ? R ) , 若曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线为 y ? 0. (1)求 a , b 的值; (2)求 f ( x ) 在 [ , e] 上的极值.

2

1 e

20. (本题 15 分)已知二次函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ) ? 2 x ? 1, f (0) ? ?3. (1)求函数 f ( x ) 的表达式; (2) 设 g ( x ) ? kx ? 1 , 若 F ( x ) ? log0.5 [ g ( x ) ? f ( x )] 在区间 [2,3] 上单调递增, 求实数 k 的 取值范围.

21. (本题 15 分)设函数 f ( x ) ? x ? ln( x ? 1). (1)证明: x ? ln( x ? 1) ; (2)若 a ? b ? 0 ,求证: e
a ?b

? 1 ? ln( a ? 1) ? ln(b ? 1).

22. (本题 15 分)已知 f ( x ) ? 2 x ? a , g ( x ) ? a x ? 1 , a ? R. (1)若 a ? 1 ,求满足 g ( x ) ? g ( x ? 1) ? 1 的实数 x 的取值范围; (2)设 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ,若存在 x1 , x2 ? [ ?2,2] ,使得 h ( x1 ) ? h ( x2 ) ? 6 成立,求实 数 a 的取值范围.

2018 学年第二学期期中考试高二数学参考答案
一、 选择题:本大题共有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A C D B D D C D A 答案 二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 11. ?1, 2, 4,5? , ?4,5? ; 15. 240 16. 4 ; 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题 14 分) 从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加座谈会,问: (Ⅰ)如果 4 人中男生和女生各选 2 人,有多少种选法? (Ⅱ)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内,有多少种选法? (III)如果 4 人中必须既有男生又有女生,有多少种选法? 解:(Ⅰ)根据题意,从 5 名男生中选出 2 人,有 C5 ? 10 种选法,从 4 名女生中选出 2 人,有 C4 ? 6 种
2 2

10 , ?1 ? 3i ; 17. a ? 9 .
12 .

13. 36 , 5 ;

14. 6, 60 ;

选法,则 4 人中男生和女生各选 2 人的选法有 10 ? 6 ? 60 种;……………………………………4 分 (Ⅱ)先在 9 人中任选 4 人,有 C9 ? 126 种选法,其中甲乙都没有入选,即从其他 7 人中任选 4 人的
4

选法有 C7 ? 35 种,则甲与女生中的乙至少要有 1 人在内的选法有 126 ? 35 ? 91 种; ………9 分
4

(Ⅲ)先在 9 人中任选 4 人,有 C9 ? 126 种选法,其中只有男生的选法有 C5 ? 5 种,只有女生的选法
4 4

有 C4 ? 1 种,则 4 人中必须既有男生又有女生的选法有 126 ? 5 ? 1 ? 120 种.…………………14 分
4

19. (本题 15 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax2 ? bx (a, b ? R) ,若 f ( x ) 在 x ? 1 处与直线 y ? 0 相切. (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 在 ? , e ? 上的极值. e 解:(Ⅰ) f '( x) ?

?1 ?

? ?

1 ? 2ax ? b. …………………………………………………………………………3 分 x

函数 f ( x ) 在 x ? 1 处与直线 y ? 0 相切,? ?

? f '(1) ? 0 ?1 ? 2a ? b ? 0 ?a ? 1 即? ,解得 ? .…7 分 ? f (1) ? 0 ??a ? b ? 0 ?b ? 1
?2 x 2 ? x ? 1 1 , 令 f (')x 0? , ? 2x ?1 ? x x

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得:f ( x) ? ln x ? x ? x , 定义域为 ? 0, ?? ? .f '( x ) ?
2

解得 0 ? x ? 1 ,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 1 .? f ( x) 在 ? ,1? 上单调递增,在 ?1, e ? 上单调递减,………11 分

?1 ? ?e ?

?1 ? ? f ( x) 在 ? , e ? 上的极大值 f (1) ? 0 .无极小值. ………………………………………………15 分 ?e ?
20. (本题 15 分)已知二次函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ? 1 , f (0) ? ?3 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的表达式;

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(Ⅱ)设 g ( x) ? kx ? 1 ,若 F ( x) ? log0.5 ? g ( x ) ? f ( x )? 在区间 ? 2,3? 上单调递增,求实数 k 的取值 范围. 解: (Ⅰ)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,则 f (x ?1 ) ? a( x ?1 ) 2?b (x ? 1 ) ?c , …………………………3 分

f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ? 1 , ? a ? 1, b ? ?2, c ? ?3 , …………………………………………6 分
则 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ;………………………………………………………………………………7 分 (Ⅱ) F ( x) ? log 0.5 ? f ( x) ? g ( x) ? ? log 0.5 ? ? ? x ? (k ? 2) x ? 4 ? ? ,由 F ( x ) 在区间 ? 2,3? 上是增函
2

数得, h( x) ? ? x2 ? (k ? 2) x ? 4 在 ? 2,3? 上为减函数且恒正, ………………………………11 分

?k ? 2 ?2 1 ? ? 1 ? 解得 ? ? k ? 2 ,实数 k 的取值范围为 ? ? , 2 ? . ………………15 分 故? 2 3 ? 3 ? ??32 ? 3(k ? 2) ? 4 ? 0 ?
21. (本题 15 分)设函数 f ( x) ? x ? ln( x ? 1) . (Ⅰ)求证: x ? ln( x ? 1) ; (Ⅱ)若 a ? b ? 0 ,求证: e
a ?b

?1 ? ln(a ? 1) ? ln(b ? 1) .

解:(Ⅰ)

f '( x) ? 1 ?

x 1 ? , ? x ? ?1? , ……………………………………………………2 分 x ?1 x ?1
? f ( x) 在 ? ?1, 0? 递减,在 ?0, ?? ? 递增, ………………………4 分

由 f '( x) ? 0 ? ?1 ? x ? 0

? f ( x)min ? f (0) ? 0 ,………………………………………………………………………………5 分
? x ? ln( x ? 1) ? 0 即 x ? ln( x ? 1) …………………………………………………………………6 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? ln(a ? 1) 且 b ? ln(b ? 1) ,

a ? b ? ln(a ? 1) ? ln(b ? 1) ,

……………8 分

故要证原不等式,只要证: e a ?b ? 1 ? a ? b ,记 g ( x) ? e x ? x ?1,( x ? 0) ,则 g '( x) ? e x ? 1 ? 0

? g ( x ) 在 ? 0, ?? ? 递增,? g ( x) ? g (0) ? 0 即 ex ?1 ? x( x ? 0) …………………………………13 分
令 x ? a ? b ,则有 e a ?b ? 1 ? a ? b ,?ea?b ? 1 ? ln(a ? 1) ? ln(b ? 1) …………………………15 分 22. (本题 15 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ? a , g ( x) ? a x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)若 a ? 1 ,求满足 g ( x) ? g ( x ? 1) ? 1 的实数 x 的取值范围; (Ⅱ)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) , x ? ? ?2, 2? ,若存在 x1 , x2 ? ? ?2, 2? ,使得 h( x1 ) ? h( x2 ) ? 6 成立, 试求实数 a 的取值范围.

高二数学期中考试参考答案 第 2 页 (共 3 页)

??2 x ? 3, ( x ? 1) ? 解:(Ⅰ) a ? 1 ,? g ( x) ? g ( x ? 1) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ?1, (1 ? x ? 2) ……………………………3 分 ?2 x ? 3, ( x ? 2) ?
又由 g ( x) ? g ( x ? 1) ? 1 ,易得 x ? 1 或 x ? 2 ……………………………………………………5 分 (Ⅱ)h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2 x ? a ? a x ? 1 ? ?

?(2 ? a) x, (?2 ? x ? 1) , 又存在 x1 , x2 ? ? ?2, 2? , ?(2 ? a) x ? 2a, (1 ? x ? 2)
……………………………………7 分

使得 h( x1 ) ? h( x2 ) ? 6 成立,? h( x)max ? h( x)min ? 6

⑴当 a ? ?2 时, 2 ? a ? 0, 2 ? a ? 0 , h ( x ) 在区间 ? ?2,1? 上单调递增, ?1, 2? 上单调递减,

? h( x)max ? h(1) ? 2 ? a ,又 h(?2) ? 2a ? 4 ? h(2) ? 4 ,? h( x)min ? 2a ? 4
? 2 ? a ? (2a ? 4) ? 6 ? 3a ? 6 ,解得 a ? 0 ,综上, a ? ?2 ;………………………………9 分
2? ⑵ 当 ?2 ? a ? 2 时 , 2 ? a ? 0 ,? a
,0 h ( x ) 在 区 间

? ?2, 2?

上 单 调 递 增 ,

? h( x)max ? h(2) ? 4, h( x)min ? h(?2) ? 2a ? 4 ,? 4 ? (2a ? 4) ? 8 ? 2a ? 6 ,解得 a ? 1 ;
综上 ?2 ? a ? 1 ;……………………………………………………………………………………11 分 ⑶当 a ? 2 时, 2 ? a ? 0, 2 ? a ? 0 , h ( x ) 在区间 ? ?2,1? 上单调递减, ?1, 2? 上单调递增,

? h( x)min ? h(1) ? 2 ? a ,
①当 2 ? a ? 4 时, h(2) ? h(?2),? h( x)max ? h(2) ? 4 , ? 4 ? (2 ? a ) ? 2 ? a ? 6 解得 a ? 4 , 不合题意 ②当 a ? 4 时, h(?2) ? h(2),? h( x)max ? h(?2) ? 2a ? 4 , ? 2a ? 4 ? (2 ? a ) ? 3a ? 6 ? 6 解得

a ? 4 , 综上 a ? 4 …………………………………………………………………………………14 分 综上所述, a ? 1或a ? 4 .…………………………………………………………………………15 分

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