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2017-2018版高中数学必修2第一章立体几何初步学案(14份) 北师大版11(优秀教案)

球的表面积和体积
学习目标 .了解球的表面积与体积公式,并能应用它们求球的表面积及体积.会求解组合 体的体积与表面积.
知识点一 球的截面 思考 什么叫作球的大圆与小圆?
梳理 用一个平面 α 去截半径为的球的球面得到的是,有以下性质: ()若平面 α 过球心,则截线是以为圆心的球的大圆. ()若平面 α 不过球心,如图,设′⊥α ,垂足为′,记′=,对于平面 α 与球面的任意一 个公共点,都满足′⊥′,则有′=,即此时截线是以为圆心,以=为半径的球的小圆.
知识点二 球的切线 ()定义:与球只有公共点的直线叫作球的切线.如图,为球的切线,为切点. ()性质:①球的切线垂直于过切点的半径; ②过球外一点的所有切线的长度都.

知识点三 球的表面积与体积公式
前提条件 表面积公式
体积公式

球的半径为 = =

类型一 球的表面积与体积 例 ()某几何体的三视图如图所示,则其表面积为.
()已知球的表面积为 π ,求它的体积.
反思与感悟 ()要求球的体积或表面积,必须知道半径或者通过条件能求出半径,然后代入 体积或表面积公式求解. ()半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球的表面积或体积的相关题目也就 易如反掌了. ()由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积,最重要的是还原组合体,并 弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义.根据球与球的组合体的结构特征及数据计算 其表面积或体积.此时要特别注意球的三视图都是直径相同的圆. 跟踪训练 ()已知球的体积为π ,则其表面积为. ()某器物的三视图如图,根据图中数据可知该器物的体积是( )

-+ 类型二 球的截面 例 在半径为的球面上有,,三点,且===,球心到△所在截面的距离为球半径的一半, 求球的表面积.
反思与感悟 ()有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题. ()解题时要注意借助球半径,截面圆半径,球心到截面的距离构成的直角三角形,即=+. 跟踪训练 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高,将一个球放在容器口, 再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ()
π) π) 类型三 与球有关的组合体 球的内接或外切柱体问题) 例 ()一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为,则 此球的表面积为. ()将棱长为的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为. 反思与感悟 ()正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切,称球为正方体的内切球,若正方体的棱长为,此时球的半径为 =. ()长方体的外接球

长方体的八个顶点都在球面上,称球为长方体的外接球,根据球的定义可知,长方体的体对 角线是球的直径,若长方体过同一顶点的三条棱长为,,,则过球心作长方体的对角面有球的 半径为=. 跟踪训练 设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为,顶点都在一个球面上,则该球的表 面积为( ) .π π 2π .π 球的内接锥体问题) 例 若棱长为的正四面体的各个顶点都在半径为的球面上,求球的表面积.
反思与感悟 将正四面体可以补成正方体.由此可得 正四面体的棱长与外接球半径的关系为=. 跟踪训练 球的一个内接圆锥满足:球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半,则该圆锥的 体积和此球体积的比值为.
.把个半径为的铁球熔成一个底面半径为的圆柱,则圆柱的高为( ) .... .平面 α 截球的球面所得圆的半径为,球心到平面 α 的距离为,则此球的体积为( ) π .π .π .π .如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( )
.π .π .π .π .如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,这时圆柱、圆 锥、球的体积之比为.

.若球的半径由增加为,则这个球的体积变为原来的倍,表面积变为原来的倍.
.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形,进行相关计算. .解决球与其他几何体的切接问题时,通常先作截面,将球与几何体的各量体现在平面图形 中,再进行相关计算.
答案精析
问题导学 知识点一 思考 平面过球心与球面形成的截线是大圆. 平面不过球心与球面形成的截线是小圆. 梳理 圆 () ()′ 知识点二 ()唯一 ()②相等 知识点三 ππ 题型探究 例 ()π 解析 由三视图知该几何体为半球, 则其表面积为×π ×+π ×=π . ()解 设球的半径为,则 π =π ,解得=, 所以球的体积=π =π ·=π . 跟踪训练 ()π () 例 解 依题意知,△是正三角形,△的外接圆半径=×=. 由=()+(),得=. 所以球的表面积=π =π . 跟踪训练 [利用球的截面性质结合直角三角形求解.

如图,作出球的一个截面,则=-=(), ==×=(). 设球的半径为 ,则=+=(-)+,∴=, ∴球=π ×=().] 例 ()π 解析 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长,即==, 所以球的表面积=π =π . ()π 解析 由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长 是相等的,故可得球的直径为,故半径为,其体积是×π ×=. 跟踪训练 例 解 把正四面体放在正方体中,设正方体棱长为,则=, 由题意==×=, ∴球=π =π . 跟踪训练 或 当堂训练 . . [如图,设截面圆的圆心为′,
为截面圆上任一点, 则′=,′=. ∴==. 即球的半径为.∴=π ()=π .] . ∶∶
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