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【金版教程】2014届高考数学总复* 第3章 第3讲 三角函数的图象与性质课件 理 新人教A版_图文

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第3讲 三角函数的图象与性质

不同寻常的一本书,不可不读哟!

1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数 的周期性.
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在 (-2π,π2)上的性质.

1个必会思想 整体思想的运用,求y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的单调区间、周 期、值域、对称轴(中心)时,把ωx+φ看作一个整体.

2个重要性质

1. 周期性:函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小

正周期为|2ωπ|,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为|ωπ |.

2. 单调性:三角函数的单调性应在定义域内考虑,注意

以下两种形式单调区间的不同.①y=sin(

π 4

-x),②y=sin(x-

π4).

3种必会方法 1. 利用sinx、cosx的有界性; 2. 形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分 析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域; 3. 换元法:把sinx或cosx看作一个整体,可化为求函数在区 间上的值域(最值)问题.

课前自主导学

1.周期函数和最小正周期 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域 内的每一个值时,都有________,则称f(x)为周期函数,T为它 的一个周期.若在所有周期中,有一个________的正数,则这 个最小的正数叫做f(x)的________.

若函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),函数f(x)是周期函数吗?

(1)函数y=sin(12x+3π)的周期为________. (2)函数y=tan(3ax-π3)的最小正周期是2, 则a=________.

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数

y=sinx

y=cosx

y=tanx

图象

定义域 值域
单调性

x∈R
________ 在________, k∈Z上递增; 在__________, k∈Z上递减

x∈R

x∈R且x≠π2+ kπ,k∈Z

________

________

在________,

k∈Z上递增; 在________,

在________, k∈Z上递增

k∈Z上递减

函数

y=sinx

最值 奇偶性

________(k∈Z) 时,ymax=1;x =________时, ymin=-1
____

对 对称 称 中心
性 对称轴

________ ________

最小 正周期

____

y=cosx x=________ 时,ymax=1;x =__________ 时,ymin=-1
____
________
________
____

y=tanx
无最值
____ ________ 无对称轴
____

判断以下命题的正误. ①y=sinx在第一象限是增函数.( ) ②y=cosx在[0,π]上是减函数.( ) ③y=tanx在定义域上为增函数.( ) ④y=|sinx|的周期为2π.( ) ⑤y=ksinx+1,x∈R则y的最大值为k+1.( )

(1)y=cos(x+π3)(x∈[0,π])的值域________. (2)y=tan(4π-x)的单调递减区间__________.

1.f(x+T)=f(x) 最小 最小正周期

想一想:提示:f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),即f(x+4)

=f(x),所以f(x)是周期为4的函数.

填一填:(1)4π

提示:y=sin(

x 2



π 3

)=sin(

1 2

x+2π+

π 3

)=

sin(12(x+4π)+3π).

π (3)±6

2.[-1,1] [-1,1] R [-π2+2kπ,2π+2kπ] [2π+2kπ,

32π+2kπ] [(2k-1)π,2kπ] [2kπ,(2k+1)π]

(-2π+kπ,π2+kπ) x=π2+2kπ -2π+2kπ(k∈Z) 2kπ(k∈

Z)

π+2kπ(k∈Z)







(kπ,0),k∈Z

(kπ+

π 2



0),k∈Z

(

kπ 2

,0),k∈Z

x=kπ+

π 2

,k∈Z

x=kπ,k∈Z

2π 2π π

判一判:①× ②√ ③× ④× ⑤×

填一填:(1)[-1,12]

(2)(kπ-

π 4

,kπ+

3 4

π)(k∈Z)

提示:∵y=tan(

π 4

-x)=-

tan(x-π4).

∴kπ-π2<x-4π<kπ+π2,kπ-4π<x<kπ+34π.

核心要点研究

例1 (1)函数y=lg(2sinx-1)+ 1-2cosx 的定义域是

________ .

(2)[2012·湖南高考]函数f(x)=sinx-cos(x+

π 6

)的值域为

() A. [-2,2]

B. [- 3, 3]

C. [-1,1]

D.

[-

23,

3 2]

[审题视点] (1)由三角函数的正弦线、余弦线及单位圆进 行作图求解;(2)把f(x)化简为单个的三角函数,再确定其值域.

[解析] (1)由题意,得

??2sinx-1>0, ???1-2cosx≥0,

即?????csionsxx>≤12,12,

首先作出sinx=12与cosx=12表示的角的终边(如图所示).

由图可知劣弧

和优弧

的公共部分对应角的范围

是[2kπ+3π,2kπ+56π)(k∈Z).

所以函数的定义域为[2kπ+3π,2kπ+56π)(k∈Z).

(2)f(x)=32sinx- 23cosx= 3sin(x-π6)∈[- 3, 3 ].故 选B.

[答案] (1)[2kπ+3π,2kπ+56π)(k∈Z) (2)B

(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借 助三角函数线或三角函数图象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目: ①形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,再求最值(值域);

②形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设sinx=t,

化为关于t的二次函数求值域(最值);

③形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数,可先设

t=sinx±cosx,化为关于t的二次函数求值域(最值);

④y=

asinx+b ccosx+d

的三角函数可考虑数形结合,三角函数有

界性,求最值.

[变式探究] (1)[2013·苏州模拟]函数y= sinx+ 16-x2的 定义域为________.
(2)已知f(x)的定义域为[0,1],则f(cosx)的定义域为 ________.
(3)函数y=2cos2x+5sinx-4的值域为________. (4)[2013·衡水统考]求函数y=sinx-cosx+sinxcosx,x∈ [0,π]的最值________. (5)y=sinx+si2nx(0<x<π)的最小值为________. (6)求函数y=2-sincoxsx(0<x<π)的最小值为________.

答案:(1)[-4,-π]∪[0,π] (2){x|2kπ-π2≤x≤2kπ+π2,k∈Z} (3)[-9,1] (4)最大值为1,最小值为-1 (5)3 (6) 3
解析:(1)∵sinx≥0 ∴2kπ≤x≤2kπ+π, ∵16-x2≥0,∴-4≤x≤4, 取交集得[-4,-π]∪[0,π].

(2)0≤cosx≤1?2kπ-2π≤x≤2kπ+π2,k∈Z. (3)y=2cos2x+5sinx-4=2(1-sin2x)+5sinx-4 =-2sin2x+5sinx-2 =-2(sinx-54)2+98. ∴当sinx=1时,ymax=1, 当sinx=-1时,ymin=-9, ∴y=2cos2x+5sinx-4的值域为[-9,1].

(4)设sinx-cosx=t,t= 2sin(x-π4), ∵x∈[0,π],∴x-π4∈[-π4,34π], ∴t∈[-1, 2],sinxcosx=1-2 t2, ∴y=t+1-2 t2=-12(t-1)2+1, 当t=1时,ymax=1,t=-1时,ymin=-1.
(5)令sinx=t,则由0<x<π知t∈(0,1],
∴y=t+2t 在(0,1]上为减函数.
∴t=1时,ymin=3.

(6)y=

2-cosx sinx

表示A(0,2)与动点B(-sinx,cosx)连线的斜

率,又动点B在以原点为圆心,1为半径的圆上,∵0<x<π,∴

其轨迹如图

当直线AB与半圆相切时,斜率,即y最小,

由Rt△OAB中,OA=2,OB=1知∠BAO=30°,

∴AB的倾斜角为60°,

∴kAB= 3,即ymin= 3.

例2 [2011·安徽高考]已知函数f(x)=sin(2x+φ)其中φ为实

数,若f(x)≤|f(

π 6

)|对x∈R恒成立,且f(

π 2

)>f(π),则f(x)的单调增

区间为( )

A. [kπ-3π,kπ+π6],k∈Z B. [kπ,kπ+π2],k∈Z C. [kπ+π6,kπ+23π],k∈Z D. [kπ-2π,kπ],k∈Z

[解析]

若f(x)≤|f(

π 6

)|对x∈R恒成立,则f(

π 6

)为函数的最

值,即2×π6+φ=kπ+π2,k∈Z,∴φ=kπ+6π,k∈Z.

又f(2π)>f(π)即sinφ<0.

令k=-1,此时φ=-56π适合条件.

令2x-56π∈[2kπ-2π,2kπ+2π],k∈Z

解得x∈[kπ+π6,kπ+23π],k∈Z.故选C.

[答案] C

奇思妙想:本例题条件不变,求函数f(x)在[0,π]上的单调 递减区间.
解:f(x)=sin(2x-56π),∵0≤x≤π, ∴-56π≤2x-56π≤76π,结合正弦曲线, 由-56π≤2x-56π≤-2π,解得0≤x≤6π, 由π2≤2x-56π≤76π,解得23π≤x≤π, ∴单调减区间为[0,6π],[23π,π].

求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间,基

本思路是把ωx+φ看作一个整体,由-

π 2

+2kπ≤ωx+φ≤

π 2



2kπ(k∈Z)求得函数的增区间,由

π 2

+2kπ≤ωx+φ≤

3π 2

+2kπ(k

∈Z)求得函数的减区间.若在y=Asin(ωx+φ)中,ω<0,则应

先利用诱导公式将解析式转化,使x的系数变为正数,再进行

求解.

[变式探究] (1)函数y=sin(π3-2x)的递增区间________. (2)函数y=log12cos2x的递减区间________.
答案:(1)[kπ+152π,kπ+1112π](k∈Z) (2)(kπ-π4,kπ](k∈Z)

解析:(1) ∵y=-sin(2x-3π),

∴2kπ+π2≤2x-π3≤2kπ+32π

∴kπ+152π≤x≤kπ+1112π.

(2)y递减区间为cos2x的递增区间,同时注意cos2x>0,∴

有2kπ-

π 2

<2x≤2kπ,kπ-

π 4

<x≤kπ,其递减区间为(kπ-

π 4



kπ](k∈Z).

例3 [2013·广东模拟]若函数f(x)=sin2ax- 3 sinaxcosax (a>0) 的图象与直线y=m相切,相邻切点之间的距离为π2.
(1)求m的值; (2)若点A(x0,y0)是y=f(x)图象的对称中心,且x0∈[0, π2],求点A的坐标.

[审题视点] (1)由函数图象与直线y=m相切,可知函数的 最值为m,所以相邻切点的距离等于最小正周期,从而确定m与 a的值;
(2)利用换元法和三角函数的性质求出对称中心的坐标,然 后求解给定范围内的对称中心即可.

[解]

(1)f(x)=sin2ax-

3

sinaxcosax=

1-cos2ax 2



3 2

sin2ax=-sin(2ax+6π)+12,

由题意,知m为f(x)的最大值或最小值,所以m=32或m=-

1 2.

(2)由题设,知函数f(x)的周期为2π,所以a=2.

所以f(x)=-sin(4x+

π 6

)+

1 2

.令sin(4x+

π 6

)=0,得4x+

π 6



kπ(k∈Z),

所以x=k4π-2π4(k∈Z).由0≤k4π-2π4≤π2(k∈Z),得k=1或

k=2,

所以点A的坐标为(254π,12)或(1214π,12).

[点评] 求解三角函数性质的有关问题,难点在于三角函 数解析式的化简与整理,熟练掌握三角恒等变换的有关公式, 灵活应用角之间的关系对角进行灵活变换,将解析式转化为一 角一函数的形式,然后通过换元法求解有关性质即可.

1.求y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T= |2ωπ|.y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=|ωπ |.

2.y=Asin(ωx+φ)的对称性 对称轴方程ωx+φ=kπ+2π,k∈Z求出x. 对称中心ωx+φ=kπ,k∈Z求出x可得中心横坐标. 对于y=Acos(ωx+φ)的对称轴、对称中心横坐标可类似 求出. 3. y=Asin(ωx+φ)的奇偶性 φ=kπ时为奇函数,φ=kπ+2π时为偶函数.

[变式探究] [2013·青岛调研]已知a=(sinx,-cosx),b=

(cosx,

3cosx),函数f(x)=a·b+

3 2.

(1)求f(x)的最小正周期,并求其图象对称中心的坐标;

(2)求最小正实数m,使得函数f(x)的图象向左*移m个单位

后所对应的函数是偶函数.

解:(1)f(x)=sinxcosx- 3cos2x+ 23=12sin2x- 23(cos2x+ 1)+ 23=12sin2x- 23cos2x=sin(2x-π3),
所以f(x)的最小正周期为π. 令sin(2x- 3π )=0,得2x- π3 =kπ,∴x= k2π + 6π ,k∈Z.故所 求对称中心的坐标为(k2π+6π,0)(k∈Z).

(2)将函数f(x)的图象向左*移m个单位,对应函数解析式

为g(x)=f(x+m)=sin[2(x+m)-

π 3

],即g(x)=sin(2x+2m-

π 3

)为

偶函数,

由条件知,2m-3π=kπ+π2,k∈Z.

∴m=k2π+152π(k∈Z),又∵m>0,∴m的最小值为152π.

课课精彩无限

【选题·热考秀】

[2012·课标全国高考]已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+

π 4

)在

(2π,π)单调递减,则ω的取值范围是( )

A. [12,54]

B. [12,34]

C. (0,12]

D. (0,2]

[规范解答] 结合y=sinωx的图象可知y=sinωx在

???2πω,23ωπ ???单调递减,而y=sin???ωx+π4???=sin???ω???x+4πω??????,可知y=

sinωx的图象向左*移

π 4ω

个单位之后可得y=sin(ωx+

π 4

)的图

象,故y=sin(ωx+

π 4

)在

???4πω,45ωπ ???

单调递减,故应有

???π2,π???

?

???4πω,45ωπ ???,解得12≤ω≤54.

[答案] A

【备考·角度说】 No.1 角度关键词:审题视点 准确利用集合的关系,把问题进行等价转化是此题求解的 关键,利用正弦函数的单调性,确定f(x)的单调减区间,由题 意可知(2π,π)为其子区间,建立不等关系*猓

No.2 角度关键词:方法突破 利用三角函数的性质求解参数的问题,一般属于逆向思维 问题,难度相对较大一些,解答此类问题,是以熟练掌握三角 函数的所有性质为前提,通常将方程思想与等价转化思想相结 合,同时要注意,x的系数ω是否规定了符号,以防错解.

经典演练提能

1.[2012·福建高考]函数f(x)=sin ???x-4π??? 的图象的一条对称轴

是( )

A. x=π4

B. x=2π

C. x=-4π

D. x=-π2

答案:C

解析:由x-

π 4



π 2

+kπ,得x=kπ+

3 4

π,当k=-1时,x=

-π4.

2.[2012·山东高考]函数y=2sin ???π6x-π3??? (0≤x≤9)的最大值

与最小值之和为( )

A. 2- 3

B. 0

C. -1

D. -1- 3

答案:A 解析:∵0≤x≤9,∴-3π≤π6x-π3≤76π, ∴y∈[- 3,2],∴最大值与最小值之和为2- 3.

3.[2013·金版原创]已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[-

π3,4π]上的最小值是-2,则ω的最小值为( )

2

3

A.3

B.2

C.2

D.3

答案:B

解析:∵f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[-

π 3



π 4

]上的最小值为

-2,∴T4≤π3,即2πω≤π3,∴ω≥32,即ω的最小值为32.

4. [2013·郑州调研]函数y=2cos2(x-4π)-1是(

)

A. 最小正周期为π的奇函数

B. 最小正周期为π2的奇函数

C. 最小正周期为π的偶函数

D. 最小正周期为2π的偶函数

答案:A 解析:∵y=cos(2x-2π)=cos(π2-2x)=sin2x, ∴T=π且sin(-2x)=-sin2x, ∴f(x)为奇函数.

5.设函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(-

π 2



π 2

))的最小正周

期为π,且其图象关于直线x= 1π2 对称,则在下面四个结论:①

图象关于点(4π,0)对称;②图象关于点(3π,0)对称;③在[0,6π]

上是增函数;④在[-

π 6

,0]上是增函数中,所有正确结论的编

号为________.

答案:②④

解析:∵T=π,∴ω=2. 又2×1π2+φ=kπ+2π,∴φ=kπ+π3. ∵φ∈(-π2,2π),∴φ=3π,∴y=sin(2x+3π).由图象及性质 可知②④正确.



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