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11第十一章全等三角形--2012年3月中考数学一轮复习精品讲义(含2011中考真题)2

第十一章
本章小结

全等三角形

小结 1 本章概述 本章的主要内容是全等三角形, 主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方 法, 同时学习如何利用全等三角形进行证明. 学习利用三角形全等推导出角平分线的性质及 判定. 全等三角形是研究图形的重要工具, 是几何学习中最基础的知识, 为今后学习四边形、 圆等内容打下基础. 小结 2 本章学习重难点 【本章重点】 1.全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法. 2.角平分线的性质及判定. 3.理解证明的基本过程,掌握用综合法证明的格式. 【本章难点】 1. 根据不同的条件合理选用三角形全等的判定方法, 特别是对于 “SSA” 不能判定三角形全等的认识. 2.角平分线的性质和判定的正确运用. 3.用综合法证明的格式. 小结 3 学法指导 1.注意在探究中掌握结论. 2.三角形全等的判定方法较多,注重在对比中掌握这些结论. 3.注重推理能力的培养,推理时前因后果写清楚,过程书写要严密,有理有据. 4.注重联系实际. 5.注意分类讨论思想、转化思想、数学建模思想等的应用,掌握作辅助线的技巧.

知识网络结构图

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专题总结及应用
一、知识性专题 专题 1 三角形全等的判定与性质的综合应用 【专题解读】 三角形的全等的判定要根据题目的具体情况确定采用 SAS,ASA,AAS, SSS,HL 中的哪个定理,而且这几个判定方法往往要结合其性质综合解题. 例 1 如图 11-113 所示, BD, CE 分别是△ABC 的边 AC 和 AB 上的高, 点 P 在 BD 的延线上,BP=AC,点 Q 在 CE 上,CQ=AB. (1)求证 AP=AQ; (2)求证 AP⊥AQ. 分析 (1)欲证 AP=AQ,只需证对应的两个三角形全等,即证△ABP ≌△QCA 即可. (2)在(1)的基础上证明∠PAQ=90°. 证明: (1)∵BD,CE 分别是△ABC 的边 AC,AB 上的高, ∴∠ADB=∠AEC=90°. 在 Rt△AEC 和 Rt△ADB 中, ∠ABP=90°-∠BAD,∠ACE=90°一∠DAB, ∴∠ABP=∠ACE. 在△ABP 和△QCA 中, BP=CA(已知) , ∠ABP=∠ACE(已证) , AB=QC(已知) , ∴△ABP≌△QCA(SAS) . ∴AP=AQ(全等三角形的对应边相等) . (2)∵△ABP≌△QCA, ∴∠P=∠CAQ(全等三角形的对应角相等) . 又∵∠P+∠PAD=90°, ∴∠CAQ+∠PAD=90°, 即∠QAP=90°,∴AP⊥AQ. 例 2 若两个锐角三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等.试判断这两个三角形 的第三边所对的角之间的关系,并说明理由. 分析 运用全等三角形的判定和性质,探讨两角之间的关系,题中没给图形,需自己根 据题意画出符合题意的图形,结合图形写出已知、结论. 已知:如图 11-114 所示,在△ABC 和△A′B′C′中,AB=A′B′,BC=B′C′, AD,A′D′分别是 BC,B′C′上的高,且 AD=A′D′. 判断∠B 和∠B′的关系.

解:∠B=∠B′.理由如下: ∵AD,A′D′分别是 BC,B′C′边上的高,

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∴∠ADB=∠A′D′B′=90°. 在 Rt△ADB 和 Rt△A′D′B′中, ?

? AB ? A?B?, ? AD ? AD,

∴Rt△ADB≌Rt△A′D′B′( HL) . ∴∠B=∠B′(全等三角形的对应角相等) .

规律·方法 边、角、中线、角平分线、高是三角形的基本元素,从以上
诸元素中选取三个条件组合,可以得到关于三角形全等判定的若干命题. 例 3 如图 11-115 所示,已知四边形纸片 ABCD 中,AD∥BC,将∠ABC,∠ DAB 分别对折,如果两条折痕恰好相交于 DC 上一点 E,点 C,D 都落在 AB 边上 的 F 处,你能获得哪些结论? 分析 对折前后重合的部分是全等的,从线段关系、角的关系、面积关系等 不同方面进行探索,以获得更多的结论,这是一道开放性试题. 解:①AD=AF,ED=EF=EC,BC=BF. ②AD 十 BC=AB,DE+EC=2EF. ③ ∠ 1 = ∠ 2 , ∠ 3 = ∠ 4 , ∠ D = ∠ AFE , ∠ C = ∠ EFB , ∠ DEA = ∠ FEA , ∠CEB=∠FEB. ④∠AEB=90°或 EA⊥EB. ⑤S△DAE=S△EAF,S△ECB=S△EFB. 【解题策略】 本题融操作、观察、猜想、推理于一体,需要具有一定的综合能力.推 理论证既是说明道理,也是探索、发现的途径.善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本 的全等三角形是解题的关键.需要注意的是,通常面临以下情况时,我们才考虑构造全等三 角形: (1)给出的图形中没有全等三角形,而证明结论需要全等三角形. (2)从题设条件中 无法证明图形中的三角形全等,证明需要另行构造全等三角形.

专题 2 全等三角形的性质及判定的实际应用
【专题解读】 全等三角形的知识在实际问题中的应用是常见的一种类型题, 解题的是键 是将实际问题抽象成几何问题来解决,一般难度不大. 例 4 如图 11-116 所示,太阳光线 AC 与 A′C′是平行的,同一时刻两根高度相同的 木杆在太阳光照射下的影子一样长吗?说说你的理由. 分析 本题欲确定影子一样长,实际就是证明 BC 与 B′C′相等, 而要证明两条线段相等,常常证明它们所在的两个三角形全等. 解:影子一样长.理由如下: 因为 AB⊥BC,A′B⊥B′C′, 所以∠ABC=∠A′B′C′=90°. 因为 AC∥A′C′,所以∠ACB=∠A′C′B′. 在△ABC 和△A′B′C′中, ∠ABC=∠A′B′C′, ∠ACB=∠A′C′B′, AB=A′B′, 所以△ABC≌△A′B′C′(AAS) , 所以 BC=B′C′(全等三角形的对应边相等) .

专题 3

角平分线的性质及判定的应用

【专题解读】 此部分内容单独考查时难度不大,要注意角平分 线的性质及判定的区别与联系.

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例 5 如图 11-117 所示.P 是∠AOB 的平分线上的一点,PC⊥AO 于 C,PD⊥OB 于 D,写出图中一组相等的线段 (只需写出一组即可) . 分析 本题主要运用角平分线的性质定理来解决, 同时本题是一道开放性试题, 答案不 唯一.故填 PD=PC(或 OD=OC) . 【解题策略】 OC 与 OD 相等可通过三角形全等来得到. 例 6 如图 11-118 所示,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,DG⊥BC 且平分 BC.交 BC 于 G,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 交 AC 的延长线于 F. (1)说明 BE=CF 的理由; (2)如果 AB=a,AC=b,求 AE.BE 的长. 分析 本题综合考查了角平分线与全等三角形的性质及判定,难度中等. 解: (1)连接 BD,CD, ∵AD 是∠BAC 的平分线,且 DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF. 又∵DG⊥BC 且 BG=GC, ∴△DBG≌△DCG,∴DB=DC. ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL) , ∴BE=CF. (2)∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEA=∠DFA=90°. 在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中,Rt△ADF 中 ? ∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL) . ∴AE=AF. 又∵BE=CF, ∴a-BE=6+BE.

? AD ? AD, ? DE ? DF ,

a?b 2 a?b a?b ∴AE=AB-BE=a- = . 2 2 专题 4 利用尺规作图, 作一个三角形与另一个三角形全等或作一个角的平 分线
∴2BE=a-b,即 BE= 【专题解读】 尺规作图是数学的重要知识之一, 作一个角的平分线和作一个三角形全 等于另一个三角形是尺规作图中的基本作图. 很多复杂的图形都是通过这些简单的基本图形 作出来的. 例 7 如图 11-119 所示,已知△ABC,在△ABC 内求作一点 P,使它到△ABC 三边的距 离相等. (保留作图痕迹,不写作法) 分析 到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点,其实只需作出两个角 的平分线,即可确定 P 点的位置,作图痕迹指的是确定点 P 的过程.

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解:如图 11-120 所示.

二、思想方法专题 专题 5 分类讨论思想
【专题解读】 对于三角形全等的有些性质及判定的问题,由于已知 条件的不确定或开放性问题.常用到分类讨论思想. 例 8 如图 11- 121 所示,在△ABD 和△ACE 中,有下列四个论断: ①AB=AC ②AD=AE; ③∠B=∠C; ①BD=CE. 请以其中三个论断作为条件.余下一个作为结论,写出一个正确的数 学命题(用序号 ? ? ? ? ? 的形式写出) : . 分析 解决本题一方面用分类讨论的数学思想来考虑问题, 另一方面需熟练应用全等三 角形的性质及判定方法.具体分析如下: (1)以①为结论.②③④为条件:

? AD ? AE , ? 在△ABD 和△ACE 中, ??B ? ?C ? △ABD≌△ACE ? AB=AC. ? BD ? CE ?
∴不能以②③④为条件,①为结论. (2)以②为结论,①③④为条件:

? AB ? AC , ? 在△ABD 和△ACE 中, ??B ? ?C , ? △ABD≌△ACE(SAS) ? AD=AE. ? BD ? CE , ?
∴能以①③④为条件,②为结论. (3)以③为结论,①②④为条件:

? AB ? AC ? 在△ABD 和△ACE 中, ? AD ? AE ? △ABD≌△ACE(SSS) ? ∠B=∠C. ? BD ? CE ?
∴能以①②④为条件,③为结论. (4)以④为结论,①②③为条件:

? AB ? AC ? 在△ABD 和△ACE 中, ? AD ? AE ? ? ?B ? ? C ?

△ABD≌△ACEC ? BD=CE.

∴不能以①②③为条件,④为结论. ∴正确的结果有两种:其一:①③④ ? ②;其二:①②④ ? ③.两者任选其一即可. 故填①③④ ? ②或①②④ ? ③.

专题 6 转化思想
【专题解读】 三角形全等是证明线段相等、角相等最常用的方法.证线段(或角)相 等往往转化为证线段 (或角) 所在的两个三角形全等. 当需证的两个全等的三角形不明显时, 还要添加辅助线,构造全等三角形. 例 9 如图 11-122 所示,已知 AB=CD,AD=BC,求证∠B=∠D,∠A=∠C. 分析 本题是证明四边形的对角相等, 需构造全等三角形, 转化为证三角形全等. 为此,

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需作辅助线 AC,把四边形 ABCD 分成△ACD 和△CBA.

? AD ? BC , ? 证明:连接 AC,在△ADC 和△CBA 中, ? DC ? BA, ? AC ? AC , ?
∴△ADC≌△CBA(SSS) .∴∠D=∠B. 同理∠DAB=∠DCB. 例 10 如图 11-123 所示.△ABC 中,BD 为∠ABC 的平分线,DE⊥ AB 于 E,且 DE =2 ㎝,AB=9 ㎝,BC=6 ㎝,你能求出△ABC 的面积吗? 分析 要求△ABC 的面积, 只需分别求出△ABD 和△BCD 的面积即可. 在△ABD 中. 底 AB.高 DE 都知道在△BCD 中,底 BC 知道,高没画出来,所以问题就转化为求△BCD 的 高,这里可以作辅助线 DF⊥BC 于 F. 解:作 DF⊥BC 于 F. 因为 BD 是∠ABC 的平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,所以 DE=DF. 由 DE=2 cm,可知 DF=2 cm. 所以 S△ABC=S△ABD+S△BCD= =

1 1 AB·DE+ BC·DF 2 2

1 1 2 ×9×2+ ×6×2=15(㎝ ) . 2 2 专题 7 数学建模思想
【专题解读】 全等三角形在实际生活中有很多的应用.比如,测量工具内槽宽的工具 —— 卡钳, 测量不能直接测量的两点间的距离等. 对于这些实际问题, 往往是根据实际情况, 建立数学模型,利用数学原理解决问题. 例 11 如图 11-124 所示的是人民公园中的荷花池,现要测量此荷花池两 旁 A,B 两棵树之间的距离,但无法直接测量,请你运用所学知识,以卷尺和 测角仪为测量工具设计一种测量方案. 要求: (1)画出你设计的测量平面图; (2)简述测量方法,并写出测量数据(长度用 a,b,c,…表示,角度用 α ,β ,γ ,… 表示) ; (3)根据你测量的数据,计算 A,B 两棵树之间的距离. 分析 依题意.结合图形解题,我们可以用 SAS,ASA,AAS 等方法构造出两个全等 三角形,即可用卷尺测出与 AB 相等的边的长度,从而得到 A,B 间的距离. 解法 1:如图 11-125 所示,在平面内选取一个可以直接到达 A,B 的点 C,连接 AC 并 延长至 D,使 AC=CD,连接 BC 并延长至 E,使 BC=CE.连接 ED,用卷尺分 别测出 AC=CD=b,BC=CE=a,ED=c,则 A,B 两点间的距离 AB=ED=c. 解法 2:作射线 BM,如图 11-126 所示,在射线 BM 上取一点 C,使点 C 能达到点 A. 在 BM 上取一点 E,使 BC=CE=a.过点 E 作∠BED =∠ABC=a,连接 AC 并 延长,与 ED 相交于 D 点,这样易知△ABC≌△DEC(ASA) ,所以 AB=DE,用 卷尺可测出 ED 的长为 b,则 A,B 间的距离为 b.

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【解题策略】 事实上,用测量的方法获得两个不能直接测量的两地之间的距离,除了 用三角形全等的方法外, 在学习了相似三角形后, 也可通过相似的方法获得测量方法和结果.

专题 8 类比思想
【专题解读】 对于几何图形的运动问题(如平移、旋转等)以及一些规律探究题,常 常会出现一个基本图形, 无论从图形上还是从解题方法上都比较简单, 而其他的较复杂的图 形,都是由基本图形通过变化得到的,它和基本图形有很多类似的条件和结论.类比基本图 形,可以解决复杂图形的问题,主要考查观察能力和推理、猜测能力. 例 12 (规律探究题)如图 11-127(1)所示,AB=CD,AD=BC,O 为 AC 的中点, 过 O 点的直线分别与 AD,BC 相交于 M,N,那∠1 和∠2 有什么关系?请证明;将过 O 点 的直线旋转至图 11-127(2) (3)的位置时,其他条件不变,那∠图(1)中的∠1 和∠2 的 关系还成立吗?请证明. 分析 图(1)是基本的图形,在图(1)中证∠1=∠2 不难,在图(2) (3)中证∠1 =∠2,可以类比在图(1)中证明时的方法.

解:∠1=∠2.

? AB ? CD, ? 证明:在△ABC 和△CDA 中, ? BC ? DA, 所以△ABC≌△CDA(SSS) . ? AC ? CA, ?
所以∠BCA=∠DAC.所以 AD∥BC.所以∠1=∠2. 当直线旋转到图(2) (3)的位置时,仍有∠1=∠2,证明方法同上. 例 13(动手操作题)正方形通过剪切可以拼成一个三角形,如图 11-128 所示.仿照 图(1)所示的方法,解答下列问题,操作设计(在原图上画出即可) . (1)如图 11-128(2)所示,对直角三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一 个与原三角形面积相等的长方形; (2)如图 11-128(3)所示,对于任意三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼 成一个与原图形面积相等的长方形; (3)如图 11-128(4)所示.对于任意四边形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼 成一个与原图形面积相等的长方形.

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分析 本题考查观察能力、 动手操作能力. 剪下来的图形和拼上去的图形实际上是一个 图形. 拼图的关键在于使剪切下的图形和拼接的图形的全等. 普通三角形可以类比直角三角 形,四边形可以类比普通三角形. 解: (1)如图 11-129 所示. (2)如图 11-130 所示. (3)如图 11-131 所示.

【解题策略】 (1)第(2)题中任意三角形的剪切、拼接,可以先把它转化为两个直 角形,再按照(1)中直角三角形的拼接方法完成.对于任意四边形,则是通过连接对角线, 把四边形转化为两个三角形.本题体现了数学中的类比、转化思想. (2)针对图形而言,本题中实质上是构造全等三角形:利用线段中点把线段分成两条 相等的线段的条件, 再添加一些合适的条件, 就可以构造出全等三角形, 从而达到转化线段、 角以及三角形位置的目的. 2011 中考真题精选 1. (2011?江苏宿迁,7,3)如图,已知∠1=∠2,则不一定能使△ ABD≌△ACD 的条件是 ( )

A、AB=AC B、BD=CD C、∠B=∠C D、∠BDA=∠CDA 考点:全等三角形的判定。 专题:证明题。 分析:利用全等三角形判定定理 ASA,SAS,AAS 对各个选项逐一分析即可得出答案. 解答:证明:A、∵∠1=∠2,AD 为公共边,若 AB=AC,则△ ABD≌△ACD(SAS) ;故 本选项正确,不合题意. B 、∵∠1=∠2 , AD 为公共边,若 BD=CD ,不符合全等三角形判定定理,不能判定 △ ABD≌△ACD;故本选项错误,符合题意. C、∵∠1=∠2,AD 为公共边,若∠B=∠C,则△ ABD≌△ACD(AAS) ;故本选项正确, 不合题意. D、∵∠1=∠2,AD 为公共边,若∠BDA=∠CDA,则△ ABD≌△ACD(ASA) ;故本选项 正确,不合题意. 故选 B. 点评: 此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握, 此题难度不大, 属于基础题. 2. (2011 南昌,10,3 分)如图,在下列条件中,不能证明△ABD≌△ACD 的是( )

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A.BD=DC,AB=AC B.∠ADB=∠ADC,BD=DC C.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C,BD=DC 考点:全等三角形的判定. 专题:证明题. 分析:两个三角形有公共边 AD,可利用 SSS,SAS,ASA,AAS 的方法判断全等三角形. 解答:解:∵AD=AD,A.当 BD=DC,AB=AC 时,利用 SSS 证明△ABD≌△ACD,正 确;B.当∠ADB=∠ADC,BD=DC 时,利用 SAS 证明△ABD≌△ACD,正确;C.当∠B=∠ C,∠BAD=∠CAD 时,利用 AAS 证明△ABD≌△ACD,正确;D.当∠B=∠C,BD=DC 时, 符合 SSA 的位置关系,不能证明△ABD≌△ACD,错误.故选 D. 点评:本题考查了全等三角形的几种判定方法.关键是根据图形条件,角与边的位置关系是 否符合判定的条件,逐一检验. 3. (2011 年山东省威海市,6,3 分)在△ABC 中,AB>AC,点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点,
点 F 在 BC 边上,连接 DE,DF,EF,则添加下列哪一个条件后,仍无法判定△BFD 与△EDF 全等( A、EF∥AB B、BF=CF C、∠A=∠DFE D、∠B=∠DEF )

考点:全等三角形的判定;平行线的判定与性质;三角形中位线定理. 专题:证明题. 分析: 根据平行线的性质得到∠BDF=∠EFD, 根据 D E 分别是 AB AC 的中点, 推出 DE∥BC, DE= 得到∠EDF=∠BFD,根据全等三角形的判定即可判断 A;由 DE=

1 2

BC,

1 2

BC=BF,∠EDF=∠BFD,DF=DF 即

可得到△BFD≌△EDF;由∠A=∠DFE 证不出△BFD≌△EDF;由∠B=∠DEF,∠EDF=∠BFD,DF=DF, 得到△BFD≌△EDF. 解答:解:A、∵EF∥AB, ∴∠BDF=∠EFD, ∵D E 分别是 AB AC 的中点, ∴DE∥BC,DE=

1 2

BC,

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∴∠EDF=∠BFD, ∵DF=DF, ∴△BFD≌△EDF,故本选项错误; B、∵DE=

1 2

BC=BF,∠EDF=∠BFD,DF=DF,∴△BFD≌△EDF,故本选项错误;

C、由∠A=∠DFE 证不出△BFD≌△EDF,故本选项正确; D、∵∠B=∠DEF,∠EDF=∠BFD,DF=DF,∴△BFD≌△EDF,故本选项错误. 故选 C. 点评:本题主要考查对全等三角形的判定,平行线的性质,三角形的中位线等知识点的理解和掌握,能求 出证全等的 3 个条件是证此题的关键.

4. (2011 年江西省,7,3 分)如图,在下列条件中,不能证明△ABD≌△ACD 的是( A.BD=DC,AB=AC C.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD B.∠ADB=∠ADC,BD=DC D.∠B=∠C,BD=DC



考点:全等三角形的判定. 专题:证明题. 分析:两个三角形有公共边 AD,可利用 SSS,SAS,ASA,AAS 的方法判断全等三角形. 解答:解:∵AD=AD, A.当 BD=DC,AB=AC 时,利用 SSS 证明△ABD≌△ACD,正确; B.当∠ADB=∠ADC,BD=DC 时,利用 SAS 证明△ABD≌△ACD,正确; C.当∠B=∠C,∠BAD=∠CAD 时,利用 AAS 证明△ABD≌△ACD,正确; D.当∠B=∠C,BD=DC 时,符合 SSA 的位置关系,不能证明△ABD≌△ACD,错误. 故选 D. 点评:本题考查了全等三角形的几种判定方法.关键是根据图形条件,角与边的位置关系是 否符合判定的条件,逐一检验. 5. (2011 安徽省芜湖市,6,4 分)如图,已知△ ABC 中,∠ABC=45° ,F 是高 AD 和 BE 的 交点,CD=4,则线段 DF 的长度为( )

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A、 2 2 C、 3 2

B、4 D、 4 2

考点:全等三角形的判定与性质。 分析:先证明 AD=BD,再证明∠FBD=∠DAC,从而利用 ASA 证明△ BDF≌△CDA,利用 全等三角形对应边相等就可得到答案. 解答:解:∵AD⊥BC, ∴∠ADC=∠FDB=90° , ∵∠ABC=45° , ∴∠BAD=45° , ∴AD=BD, ∵BE⊥AC, ∴∠AEF=90° , ∴∠DAC+∠AFE=90° , ∵∠FDB=90° , ∴∠FBD+∠BFD=90° , 又∵∠BFD=∠AFE, ∴∠FBD=∠DAC,

??FBD ? ?CAD ? 在△ BDF 和△ CDA 中: ??ADC ? ?FDB , ? BD ? AD ?
∴△BDF≌△CDA, ∴DF=CD=4. 故选:B. 点评:此题主要考查了全等三角行的判定,关键是找出能使三角形全等的条件. 6. (2011 浙江金华,9,3 分)如图,西安路与南京路平行,并且与八一街垂直,曙光路与 环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口,准备去书店,按图中的街道行走, 最近的路程约为( ) A.600m B.500m C.400m D.300m

环城路 300m 南京路 400m 八 一 街 书店 曙 光 400m 路 西安路



A E

C

B

D

考点:勾股定理的应用;全等三角形的判定与性质。 专题:计算题。 分析:由于 BC∥AD,那么有∠DAE=∠ACB,由题意可知∠ABC=∠DEA=90° ,BA=ED,
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利用 AAS 可证△ABC≌△DEA,于是 AE=BC=300,再利用勾股定理可求 AC,即可求 CE,根据图可知从 B 到 E 的走法有两种,分别计算比较即可. 解答:解:如右图所示, ∵BC∥AD, ∴∠DAE=∠ACB, 又∵BC⊥AB,DE⊥AC, ∴∠ABC=∠DEA=90° , 又∵AB=DE=400, ∴△ABC≌△DEA, ∴EA=BC=300, 在 Rt△ABC 中,AC=

AB2 ? BC2 =500,

∴CE=AC﹣AE=200, 从 B 到 E 有两种走法:①BA+AE=700;②BC+CE=500, ∴最近的路程是 500m. 故选 B. 点评:本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理.解题的关键是证明 △ABC≌△DEA,并能比较从 B 到 E 有两种走法. 7. (2011 梧州,12,3 分)如图,点 B、C、E 在同一条直线上,△ ABC 与△ CDE 都是等 边三角形,则下列结论不一定成立的是( )

A、△ ACE≌△BCD B、△ BGC≌△AFC C、△ DCG≌△ECF D、△ ADB≌△CEA 考点:全等三角形的判定;等边三角形的性质。 分析:首先根据角间的位置及大小关系证明∠BCD=∠ACE ,再根据边角边定理,证明 △ BCE≌△ACD ; 由 △ BCE≌△ACD 可 得 到 ∠DBC=∠CAE , 再 加 上 条 件 AC=BC , ∠ACB=∠ACD=60° , 可证出△ BGC≌△AFC, 再根据△ BCD≌△ACE, 可得∠CDB=∠CEA, 再加上条件 CE=CD,∠ACD=∠DCE=60° ,又可证出△ DCG≌△ECF,利用排除法可得到 答案. 解答:解:∵△ABC 和△ CDE 都是等边三角形, ∴BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60° , ∴∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD, 即∠BCD=∠ACE, ∴在△ BCD 和△ ACE 中 ∴△BCD≌△ACE(SAS) , 故 A 成立, ,

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∴∠DBC=∠CAE, ∵∠BCA=∠ECD=60° , ∴∠ACD=60° , 在△ BGC 和△ AFC 中 ∴△BGC≌△AFC, 故 B 成立, ∵△BCD≌△ACE, ∴∠CDB=∠CEA, 在△ DCG 和△ ECF 中 , ,

∴△DCG≌△ECF, 故 C 成立, 故选:D. 点评: 此题主要考查了三角形全等的判定以及等边三角形的性质, 解决问题的关键是根据已 知条件找到可证三角形全等的条件. 8.(2011 广西百色,8,4 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠ABC.∠ACB 的平分线 BD, CE 相交于 O 点,且 BD 交 AC 于点 D,CE 交 AB 于点 E.某同学分析图形后得出以下结论: ①△BCD≌△CBE ; ②△BAD≌△BCD ; ③△BDA≌△CEA ; ④△BOE≌△COD ; ⑤△ACE≌△BCE;上述结论一定正确的是( )

A.①②③ B.②③④ C.①③⑤ D.①③④ 考点:全等三角形的判定;等腰三角形的性质. 分析: 根据等腰三角形的性质及角平分线定义可得有关角之间的相等关系. 运用三角形全等 的判定方法 AAS 或 ASA 判定全等的三角形. 解答:解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ∵BD 平分∠ABC,CE 平分∠ACB, ∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE. ∴①△BCD≌△CBE (ASA) ; ③△BDA≌△CEA (ASA) ; ④△BOE≌△COD (AAS 或 ASA) . 故选 D. 点评:此题考查等腰三角形的性质和全等三角形的判定,难度不大. 9. (2011?恩施州 9,3 分)如图,AD 是△ ABC 的角平分线,DF⊥AB,垂足为 F,DE=DG, △ ADG 和△ AED 的面积分别为 50 和 39,则△ EDF 的面积为( )

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A、11 B、5.5 C、7 D、3.5 考点:角平分线的性质;全等三角形的判定与性质。 专题:计算题。 分析:作 DM=DE 交 AC 于 M,作 DN⊥AC,利用角平分线的性质得到 DN=DF,将三角形 EDF 的面积转化为三角形 DNM 的面积来求. 解答:解:作 DM=DE 交 AC 于 M,作 DN⊥AC, ∵DE=DG, ∴DM=DE, ∵AD 是△ ABC 的角平分线,DF⊥AB, ∴DE=DN, ∴△DEF≌△DNM, ∵△ADG 和△ AED 的面积分别为 50 和 39, ∴S△ MDG=S△ ADG﹣S△ AMG=590﹣39=11, S△ DNM=S△ DEF=

1 1 S△ MDG= ×11=5.5 2 2

故选 B. 点评: 本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质, 解题的关键是正确的作出辅 助线,将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求. 10. (2011 湖北十堰, 6, 3 分) 工人师傅常用角尺平分一个任意角。 做法如下: 如图, ∠AOB 是一个任意角,在边 OA,OB 上分别取 OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分 别与 M, N 重合。 过角尺顶点 C 作射线 OC。 由做法得△MOC≌△NOC 的依据是 ( ) A.AAS B.SAS C.ASA D.SSS

第 6 题图

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考点:全等三角形的判定;作图—基本作图. 专题:证明题. 分析:利用全等三角形判定定理 AAS、SAS、ASA、SSS 对△ MOC 和△ NOC 进行分析,即 可作出正确选择. 解答:证明:∵OM=ON,CM=CN,OC 为公共边,∴△MOC≌△NOC(SSS) . 故选 D. 点评: 此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握, 此题难度不大, 属于基础题.

综合验收评估测试题
(时间:1 20 分钟 满分:120 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.如图 11-132 所示,在△ABC 中,CD 是∠ACB 的平分线,∠A =80°∠ACB=60°,那么∠BDC 等于 ( ) A.80° B.90° C.100° D.110°

2.如图 11-133 所示,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,则下列结论:①EM= FN;②CD=DN;③∠FAN=∠EAM;④△CAN≌△BAM.其中 正确的有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.已知如图 11-134 所示的两个三角形全等,则∠a 的度数是 ( ) A.72° B.60° C.58° D.50°

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4.如图 11-135 所示,在等腰梯形 ABCD 中,AB=DC,AC,BD 交于点 O,则图中全 等三角形共有 ( ) A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对 5.如图 11-136 所示,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC= DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB= DE,AC=DF,∠B=∠E. 其中,能使△ABC≌△DEF 的条件共有 ( ) A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组

6.如图 11-137 所示,已知 AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法 判定△ABC ≌△ADC 的是 ( ) A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90° 7.如图 11-138 所示,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,BD 平分∠ABC,交 AC 于点 D,且 AD=3,则点 D 到 BC 的距离是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6

8.如图 11-139 所示,尺规作图作∠AOB 的平分线的方法如下:以 O 为 长为半径画弧交 OA,OB 于 C,D,再分别以点 C,D 为圆心,以大于

圆心,任意

1 CD 长为半 2

径画弧,两弧交于点 P,作射线 OP.连接 CP,DP,由作法得△OCP≌△ODP 的根 据是 ( ) A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 9.如图 11-140 所示,在 Rt△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为 D.E,F 分别是 CD,AD 上的点,且 CE=AF 如果∠AED=62°,那么∠DBF 等于 ( )

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A.62° B.38° C.28° D.26° 10.如图 11-141 所示,已知 AC⊥BD 于点 P,AP=CP,请增加一个条件,使△APB ≌△CPD(不能添加辅助线) ,增加的条件不能是 ( ) A.BP=DP B.AB=CD C.AB∥CD D.∠A=∠D 二、填空题(每小题 3 分,共 30 分) 11.如图 11-142 所示,若△ABC≌△A1B1C1,且∠A=110°,∠B=40°, 则∠C1= .

12.如图 11-143 所示,点 D,E 在△ABC 的 BC 边上,且 BD=CE,∠BAD=∠CAE, 要推理得出△ABE≌△ACD,可以补充的一个条件是 (不添加辅助线, 写出一个即可) . 13.如图 11-144 所示,点 B 在∠DAC 的平分线 AE 上,请添加一 个适当的条件: ,使△ABD≌△ABC(只填一个即可) .

14.如图 11-145 所示,Rt△ABC 中,∠C=90°,∠BAC=60°,AC =2.按以下步 骤作图. ①以 A 为圆心,以小于 AC 长为半径画弧,分别交 AC,AB 于点 E,D; ②分别以 D,E 为圆心,以大于

1 DE 长为半径画弧,两弧相交于点 P; 2

③连接 AP 交 BC 于点 F. 那么: (1)AB 的长等于 (直接填写答案) ; (2)∠C AF= (直接填写答案) . 15.如图 11-146 所示,已知 CD=AB,若运用“SAS”判定△ADC≌△CBA,从图中可 以得到的条件是 ,需要补充的直接条件是 .

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16.如图 11-147 所示,已知 BF⊥AC,DE⊥AC,垂足分别为 F,E,且 BF=DE,又 AE=CF,则 AB 与 CD 的位置关系是 . 17.如图 11-148 所示,∠1=∠2,∠3=∠4,且 AB=6,则 CD= .

18.如图 11-149 所示,在△ABE 和△ACD 中,给出以下四个论断:①AB=AC; ②AD=AE;③AM=AN;④AD⊥DC,AE⊥BE. 以其中三个论断为题设,填入下面的“已知”栏中,一个论断为结论,填入下面的 “求证”栏中,使其组成一个正确的命题. 已知: . 求证: . 19.如图 11-150 所示,DA⊥AB,EA⊥AC,AB=AD,AC=AE,BE 和 CD 相交于 O,AB 和 CD 相交于 P,则∠DOE 的度数是 .

20.如图 11-151 所示,已知 AE 平分∠BAC,BF⊥ AE 于 E,ED∥AC,∠BAE= 36°,那么∠BED= . 三、解答题(每小题 10 分,共 60 分) 21. 如图 11-152 所示,已知点 B,E,C,F 在同一条直线上,AB=DE,∠A=∠D, AC∥DF. (1)求证△ABC≌△DEF; (2)求证 BE=CF.

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22.如图 11-153 所示,点 B,F,C,E 在同一条直线上,点 A,D 在直线 BE 的两侧, AB∥DE,AC∥DF,BF=CE.求证 AC= DF. 23.如图 11-154 所示,点 A.B,C.D 在同一条直线上,EA⊥AD, FD⊥AD,AE=DF.AB=DC.求证∠ACE=∠DBF. 24.如图 11-155 所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC.CE ⊥BE,CE 与 AB 相交于点 F,AD⊥CF 于点 D,且 AD 平分∠FAC.请写出图中的两对全等三角形, 并选择其中一对加以证明.

25.如图 11-156 所示.在正方形 ABCD 中,AC 为对角线,E 为 AC 上一点,连接 EB,ED. (1)求证△BEC≌△DEC; (2)延长 BE 交 AD 于 F,当∠BED=120°时,求∠EFD 的度数.

26.(1)如图 11-157 所示,在正方形 ABCD 中,M 是 BC 边(不含端点 B,C)上任意 一点,P 是 BC 延长线上一点,N 是∠DCP 的平分线上一点.若 ∠AMN=90°,求 证 AM=MN. 下面给出一种证明的思路,你可以按这一思路证明,也可以选择另外的方法证明. 证明: 在边 AB 上截取 AE=MC, 连接 ME. 在正方形 ABCD 中, ∠B=∠BCD=90° ∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB.下面 请你完成余下的证明过程. (在同一三角形中,等边对等角) (2)若将(1)中的“正方形 ABCD”改为“正三角形 ABC” (如图 11-158 所 示) ,N 是∠ACP 的平分线上一点,则当∠AMN=60°时,结论 AM=MN 是否 还成立?请说明理由. (3)若将(1)中的“正方形 ABCD”改为“正 n 边形 ABCD… X” ,请你作

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出猜想:当∠AMN= 要证明)

时,结论 AM=MN 仍然成立. (直接写出答案,不需

参考答案
1.D[提示:由 CD 是∠ACB 的平分线,∠ACB=60°,得∠ACD=30°,又因为∠A =80°,所以∠BDC=∠ACD+∠A=30°+80°=110°.] 2.C[提示:由∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF 可得出△ACF≌△ABE,从而得 出∠EAB=∠FAC,然后推出△AEM≌△AFN,所以 EM=FN,①成立;由条件可证△ CAN≌△BAM,④成立;同时易推出∠FAN=∠EAM,③成立;只有 CD=DN 不一定 成立.] 3.D[提示:全等三角形中相等边所对的角是对应角,∠a 是边 b 所对的角.] 4.B[提示:△ABO≌△DCO,△ABC≌△DCB,△ABD≌△DCA.] 5.C[提示:条件①满足 SSS,条件②满足 SAS,条件③满足 ASA,都能判定△ABC≌ △DEF.只有条件④满足 SSA,不能判定△ABC≌△DEF.] 6.C[提示:添加选项 A 满足 SSS,添加选项 B 满足 SAS,添加选项 D 满足 HL,都能 判定△ABC≌△ADC,添加选项 C 满足 SSA,不能判定△ABC≌△ADC.] 7.A[提示:由角平分线的性质可知 D 到 BC 的距离等于 D 到 AB 的距离.] 8.D 9.C[提示:由 AB=AC,∠BAC=90°,可得△ABC 是等腰直角三角形,∠C=45°, 由 AD⊥BC, 可得△ABD 是等腰直角三角形, ∴∠BAD=45°. 从而推出△ABF≌△CAE, ∴∠ABF=∠CAE.由∠AED =62°可知∠CAE= 17°,∴∠ABF= 17°. ∴∠DBF= 45°-17°=28°.] 10.D[提示:添加 BP=DP 或 AB=CD 或∠A=∠C 或∠B=∠D 或 AB∥CD 均可.]

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11.30°[提示:由∠A=110°,∠B=40°,可得∠C=30°,由△ABC≌△A1B1C1, 可得∠C1=∠C=30°.] 12.∠B=∠C(答案不唯一) 13.AC=AD[提示:答案不唯一 ,填∠C=∠D,∠ABC=∠ABD 也可.] 14. (1)4 (2)30°[提示:由∠BAC=60°,可得∠B=30°,所以 AC=

1 AB,AB 2

=4.] 15.CA=AC ∠DCA=∠BAC[提示:根据 SAS 所需要的条件及题设和图形,不难得到 结论.] 16.平行[提示:由 AE=CF 知 AF=CE,又 BF=DE,∠BFA=∠DEC=90°,从而知 △ABF≌△CDE,从而∠A=∠C.故 AB∥CD.] 17.6[提示:由条件易知△ADC≌△CBA,故 CD=AB=6.] 18.②③④(或①②④或①③④) ①(或③或②)[提示:用分类讨论思想来研究.如 果以②③④为题设,①为结论,那么命题正确.∵AD⊥DC,AE⊥BE,∴∠D=∠E= 90°.在 Rt△ADM 和 Rt△AEN 中, ?

? AD ? AE , ∴Rt△ADM≌Rt△AEN(HL) .∴ ? AM ? AN ,

∠DAM=∠EAN(全等三角形的对应角相等) .∴∠DAM+∠BAC=∠EAN+∠BAC,

??DAC ? ?EAB, ? 即∠DAC=∠EAB. 在△ADC 和△AEB 中, ∴△ADC≌△AEB (ASA) ? AD ? AE , ??D ? ?E , ?
∴AC=AB.如果以①③④为题设,②为结论,那么命题正确.如果以①②④为题设, ③为结论,那么命题正确.如果以①②③为题设,④为结论,那么命题不正确.] 19. 90°[提示: 利用三角形全等来求解. ∵DA⊥AB, EA⊥AC. ∴∠DAB=∠EAC= 90°. ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC +∠BAC,即∠DAC= ∠EAB. 在△DAC 和△BAE 中

? AD ? AB, ? .∴∠D=∠ABE(全等三角形的对应 ??DAC ? ?BAE , ,∴△DAC≌△BAE(SAS) ? AC ? AE , ?
角相等) .又∵∠ DPA=∠BPO(对顶角相等) .∴∠ BOD=∠DAP=90°∴∠DOE= 90°.] 20.126°[提示:如图 11-159 所示,延长 BE 交 AC 于 F,∵AE 是∠BAF 的平分线,且 ∠BAE=36°∴∠EAF=∠BAE=36°.又∵BE⊥AE,∴∠AEB=∠AEF=90°.在△

??BAE ? ?FAE , ? AEB 和△AEF 中,? AE ? AE , ∴△ABE≌△AFE(ASA) .∴∠ABE=∠AFE.又 ??AEB ? ?AEF , ?
∵∠AEF=90°,∠FAE =36°,∴∠AFE=54°∴∠EFC=126°.又∵ED∥AC(已 知)∴∠BED=∠EFC=126°(两直线平行,同位角相等) .] 21.证明: (1)∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE.又∵∠A=∠D,AB=DE,∴△ABC ≌△DEF(AAS) . (2)由△ABC≌△DEF,得 BC=EF,∴BC—CE=EF-CE,即 BE=CF. 22.证明:∵AB∥DE,∴∠B=∠E.∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE.∵

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??B ? ?E , ? BF=CE.∴BC=EF.在△ABC 和△DEF 中, ? BC ? EF , ??ACB ? ?DEF , ?
∴△ABC≌△DEF(ASA) ,∴AC=DF. 23.证明:∵AB=CD,∴AC=BD.∵AE⊥AD,FD⊥AD,∴∠A=∠D=90°.

? AC ? BD , ? 在△ACE 和△DBF 中, ??A ? ?D, ∴△ACE≌△DBF(SAS) . ? AE ? DF , ?
∴∠ACE=∠DBF. 24.解:△ADC≌△ADF,△ADC≌△CEB,△ADF≌△CEB(写出其中两对即可) .对 △ADC≌△ADF 的证明如下:∵AD 平分∠FAC.∴∠CAD=∠FAD.∵AD⊥CF,∴∠ ADC=∠ADF=90°. 又∵AD=AD,∴△ADC≌△ADF(ASA) . 25. (1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴BC=CD,∠ECB=∠ECD=45°.又 ∵ EC=EC,∴△BEC≌△DEC. (2)解:∵△BEC≌△DEC,∴∠BEC=∠DEC=

1 ∠ 2

BED.∵∠BED=120° ∴∠BEC=60°=∠AEF∴∠EFD=∠AEF+∠CAD=60°+45°=105°. 26. (1)证明:∵AB=BC,AE=CM,∴BE=BM.又∠B=90°∴△BME 是等腰直角 三角形,∠BEM=45°∴∠AEM=135°.∵CN 是∠DCP 的平分线°∴∠NCP=45°

??MAE ? ?NMC , ? ∴∠MCN=135°∴∠AEM=∠MCN.在△AEM 和△MCN 中,? AE ? MC , ∴ ??AEM ? ?MCN , ?
△AEM≌△MCN(ASA) ,∴AM=MN. (2)解:成立.如图 11-160 所示.在 AB 上 截取 AE=MC,连接 ME.∵△ABC 为等边三角形,∴∠B=∠ACB=60°,AB=BC.

180° - 60° =60°, 2 180° - ?ACB ∴∠ AEM= 120°.∵ CN 平分∠ ACP,∴∠PCN= = 2
又∵AF=MC.∴BM=BE.∴∠BEM= 60°,∴∠MCN=120°∴∠AEM=∠MCN. ∵∠EAM+∠AMB=120°, ∠CMN+∠AMB=180°-∠AMN=180°-60°=120°,

??EAC ? ?CMN , ? ∴∠EAM=∠CMN.在△AEM 和△MCN 中, ? AE ? MC , ??AEM ? ?MCN , ?

(n ? 2) ?180° ∴△AEM≌△MCN(ASA) .∴AM=MN. (3) n

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