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人教九年级上册 第24章 圆的基础知识点、经典例题与课后习题(无答案)


【知识梳理】
1.圆的有关概念和性质 (1) 圆的有关概念 ①圆:平面上到定点的距离 等于定长的所有点组成的图形叫做圆,其中定
点为圆心,定长为半径. ②弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,大于半圆的弧称为优弧,
小于半圆的弧称为劣弧. ③弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径. (2)圆的有关性质 ①圆是轴对称图形;其对称轴是任意一条过圆心的直线;圆是中心对称图
形,对 称中心为圆心. ②垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 说明:根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具 备: ①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所 对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。 ③弧、半圆、优弧、劣弧:
弧:圆上任意两点间的部分叫做圆.弧.,简称弧.,用符号“⌒”表示,
以 CD 为端点的弧记为“ ”,读作“圆弧 CD”或“弧 CD”。
半圆:直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半.圆.。 优弧:大于半圆的弧叫做优.弧. 劣弧:小于半圆的弧叫做劣.弧.。(为了区别优弧和劣弧,优弧用三个字 母表示。) ④弧、弦、圆心角的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧, 两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆 周角是直角;90”的圆周角所对的弦是直径. ⑤等圆:能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。 ⑥等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等.弧.。 ⑦圆心角:顶点在圆心的角叫做圆.心.角.. ⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦.心.距.. (3)对圆的定义的理解: ①圆是一条封闭曲线,不是圆面; ②圆由两个条件唯一确定:一是圆心(即定点),二是半径(即定长) 2.与圆有关的角 (1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的 度数.
第1页

(2)圆周角:顶点在圆上,两边分别和圆相交的角,叫圆周角。圆周角的 度数等于它所对的弧的度数的一半.
(3)圆心角与圆周角的关系: 同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一
半. (4)圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形. 圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于 它相邻内角的对角.
3. 点与圆的位置关系及其数量特征: 如果圆的半径为 r,点到圆心的距离为 d,则 ①点在圆上 <===> d=r; ②点在圆内 <===> d<r; ③点在圆外 <===> d>r. 其中点在圆上的数量特征是重点,它可用来证明若干个点共圆,方法
就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。 4. 确定圆的条件:
1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件: 圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点
线段的垂直平分线上. 2. 经过三点作圆要分两种情况: (1) 经过同一直线上的三点不能作圆. (2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆. 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念: (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做 这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形. (2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. (3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.
5. 直线与圆的位置关系 1. 直线和圆相交、相切相离的定义:
(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割 线.
(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切 线,惟一的公共点做切点.
(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离. 2. 直线与圆的位置关系的数量特征:
设⊙O 的半径为 r,圆心 O 到直线的距离为 d; ①d<r <===> 直线 L 和⊙O 相交. ②d=r <===> 直线 L 和⊙O 相切. ③d>r <===> 直线 L 和⊙O 相离.
3. 切线的总判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.
4. 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径.
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推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论: 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.
①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心. 5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形 的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形. 6. 三角形内心的性质:
(1)三角形的内心到三边的距离相等. (2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角. 由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的 这个内角. 6. 圆和圆的位置关系. 1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义. (1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这 两个圆外离. (2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在
另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点. (3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交. (4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另
一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点. (5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做
这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例. 2. 两圆位置关系的性质与判定:
(1)两圆外离 <===> d>R+r (2)两圆外切 <===> d=R+r (3)两圆相交 <===> R-r<d<R+r (R≥r) (4)两圆内切 <===> d=R-r (R>r) (5)两圆内含 <===> d<R-r (R>r) 3. 相切两圆的性质:
如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 4. 相交两圆的性质:
相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 7. 圆内接四边形
若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这 个圆叫做这个四边形的外接圆. 圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补;
②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角. 8. 弧长及扇形的面积 1. 圆周长公式:
圆周长 C=2? R (R 表示圆的半径) 2. 弧长公式:
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弧长 l ? n?R (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数) 180
3. 扇形定义: 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.
4. 弓形定义: 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.
5. 圆的面积公式.

圆的面积 S ? ?R2 (R 表示圆的半径)

6. 扇形的面积公式:

扇形的面积

S扇形

?

n?R 2 360

(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)

弓形的面积公式:(如图 5)

A

B

(1)当弓形所含的O 弧是劣弧时, S弓形 ? S扇形 ? S三角形

O

A

O

B

(2)当弓形A所含的弧是优B弧时, S弓形 ? S扇形 ? S三角形

C
(3)当弓形所含的弧是半圆时,

S弓形图?5

1C 2

?R

2

?

S扇形

C

例题解析

【例题 1】如图 1,⊙ O 是 ?ABC的外接圆, AB 是直径,若 ?BOC ? 80? ,则 ?A

等于( )

A.60?

B.50?

C.40?

D.30?

图1

图2

图3

【例题 2】如图 2,以 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 与小圆相切于点

C,若大圆半径为

10cm,小圆半径为 6cm,则弦 AB 的长为

cm.

【例题 3】如图 3,△ABC 内接于⊙O,AB=BC,∠ABC=120°,AD 为⊙O 的直径, AD=6,那么 BD=_________.

【例题 4】如图 4 已知⊙O 的两条弦 AC,BD 相交于点 E,∠A=70o,∠c=50o,那 么 sin∠AEB 的值为()

A. 1
2

B. 3
3

C. 2
2

D. 3
2

图4

【例题 5】如图 5,半圆的直径 AB ?10 ,点 C 在半圆上, BC ? 6 .
(1)求弦 AC 的长; (2)若 P 为 AB 的中点, PE⊥AB 交 AC 于点 E,求 PE 的长.

C E

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A

B

P

(图 8)

三、课堂练习

1、如图 6,在⊙O 中,∠ABC=40°,则∠AOC=

度.

A

C

图6

图7

图8

O

S1

2、如图 7,B AB 是⊙O 的直C径,AC 是弦A ,若∠ACOO = 32°,B则∠COB 的A度数等





C S2
B

3、已知⊙O 的直径 AB=8cm,C 为⊙O 上的一点,∠BAC=30?,则 BC=______cm. 4、如图 8,已知在 Rt△ABC 中,?ACB ? Rt?, AB ? 4 ,分别以 AC , BC 为直

径作半圆,面积分别记为 S1 , S2 ,则 S1 + S2 的值等于



5、如图 9,⊙O 的半径 OA=10cm,P 为 AB 上一动点,则点 P 到圆心 O 的最 短距离为___________cm。
图9

6、如图 10,在⊙O 中,∠ACB=∠BDC=60°,AC= 2 3cm ,
(1)求∠BAC 的度数; (2)求⊙O 的周长
7、已知:如图 11,⊙O 的直径 AB 与弦 CD 相交于E,弧 BC=弧 BD,⊙O 的切线 BF 与弦 AD 的延长线相交于点 F. (1)求证:CD∥BF. (2)连结 BC,若⊙O 的半径为 4,cos∠BCD= 3 ,求线段 AD、CD
4 的长.
8、如图 12,在△ABC 中,AB=BC,以 AB 为直径的⊙O 与 AC 交于点 D,过 D 作 DF⊥BC,
交 AB 的延长线于 E,垂足为 F. (1)求证:直线 DE 是⊙O 的切线; (2)当 AB=5,AC=8 时,求 cosE 的值.

图 12
四、经典考题解析

1.如图 13,在⊙O 中,已知∠A CB=∠CDB=6 0○ ,AC=3,

则△ABC 的周长是____________.

图 13

图 14

图 15

2.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题:“今有圆材,埋在壁冲,

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不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,间径几何”.用数学语言可表述为 如图 14,CD 为⊙O 的直径,弦 AB⊥CD 于点 E,CE=1 寸,AB=10 寸,则直径 CD 的长为( )
A.12.5 寸 B.13 寸 C.25 寸 D.26 寸

3.如图 15,已知 AB 是半圆 O 的直径,弦 AD 和 BC 相交于点 P,那么CADB 等于( )

A.sin∠BPD B.cos∠BPD C.tan∠BPD D.cot∠BPD

4.⊙O 的半径是 5,AB、CD 为⊙O 的两条弦,且 AB∥CD,AB=6,CD=8,

求 AB 与 CD 之间的距离.

5.如图 16,在⊙M 中,弧 AB 所对的圆心角为 1200,已知圆的半径为 2cm,并

建立如图所示的直角坐标系,点 C 是 y 轴与弧 AB 的交点。

(1)求圆心 M 的坐标;

( 2)若点 D 是弦 AB 所对优弧上一动点,求四边形 ACBD 的最大面积

五、课后训练

Y

图 16

D

1.如图 17,在⊙O 中,弦 AB=1.8cm,圆周角∠ACB=30○

,则

M
⊙O 的直径等于

_________cm.

AO C

BX

图 17

图 18

图 19

2.如图 18,C 是⊙O 上一点,O 是圆心.若∠C=35°,则∠AOB 的度数为( )

A.35○

B.70○

C.105○

D.150○

3.如图 19,⊙O 内接四边形 ABCD 中,AB=CD,则图中和∠1 相等的角有______

4.在半径为 1 的圆中,弦 AB、AC 分别是 3 和 2 ,则 ∠BAC 的度数为多少?

5.如图 20,弦 AB 的长等于⊙O 的半径,点 C 在⊙O 上,则∠C 的度数是_______.

图 20

图 21

图 22

6.如图 21,四边形 ABCD 内接于⊙O,若∠BOD=100°,则∠DAB 的度数为( ) A.50° B.80° C.100° D.130°
7.如图 22,四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,点 E 在 CD 的延长线上,如果∠ BOD=120° ,那么∠BCE 等于( )
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A.30° B.60° C.90° D.120° 8.如图,⊙O 的直径 AB=10,DE⊥AB 于点 H,AH=2. (1)求 D E 的长; (2)延长 ED 到 P, 过 P 作⊙O 的切线,切点为 C,
若 PC=22 5 ,求 PD 的长.
九年级数学圆练习题
一、 填空题:(21 分) 1、如图,在⊙O 中,弦 AB∥OC, ?AOC ?115? ,则 ?BOC =_________ 2、如图,在⊙O 中,AB 是直径, ?C ?15? ,则 ?BAD=__________ 3、如图,点 O 是 ?ABC 的外心,已知 ?OAB ? 40? ,则 ?ACB =___________

A

A

D

C

O

C

O

(B1 题 图 ) ( 3 题C 图 )

B

O
A C
(4 题图)

A

O

B

B D

(2 题图)

4、如图,AB 是⊙O 的直径,弧 BC=弧 BD, ?A ? 25? ,则 ?BOD ?



C

A

O

A

O

B

AP

B

D

B

O

C

(5 题图)

(6 题图)

(7 题图)

5、如图,⊙O 的直径为 8,弦 CD 垂直平分半径 OA,则弦 CD=



6、已知⊙O 的半径为 2cm,弦 AB=2cm,P 点为弦 AB 上一动点,则线段 OP 的范

围是



7、如图,在⊙O 中,∠B=50?,∠C=20?,则∠BOC 的=____________

二、解答题(70 分)

1、如图,AB 是⊙O 的直径.若 OD∥AC, 么?

BD 的大小有什么关系?为什
C
D

2、已知:如图,在⊙O 中,弦 AB=CD.求证:⑴弧 AC=弧 BD;⑵∠AOC=∠BOD

3、如图,已知:⊙O 中,AB、CB 为弦,OC 交 AB 于 D,求证:(1)∠ODB>

∠OBD,(2)∠ODB>∠OBC;

B

O

A

4、已知如图,,AB、AC 为弦,OM⊥AB 于 M,ON⊥AC 于 N,MN 是△ABC 的中

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位线吗?

5、已知如图,AB、CD 是⊙O 的直径,DF、BE 是弦,且 DF=BE,求证:∠D=∠B

6、已知如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点,CD⊥AB 于 D,CE 平分∠DCO,

交⊙O 于 E,

求证:弧 AE=弧 EB

7、如图,已知△ABC,AC=3,BC=4,∠C=90°,以点 C 为圆心作⊙C,半径为 r.

(1)当 r 取什么值时,点 A、B 在⊙C 外.

(2)当 r 在什么范围时,点 A 在⊙C 内,点 B 在⊙C 外.

(2)当 r 在什么范围时,⊙C 与线段 AB 相切。

三、计算下列各题:(40 分)

1、如图,已知 AB 为⊙O 的直径,AC 为弦,OD∥BC 交 AC 于 D,OD = 2cm ,求 BC

的长;

2、如图,在 RtΔ ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以点 C 为圆心,CA 为半

径的圆与 AB、BC 分别交于点 D、E,求 AB、AD 的长.

3、如图,⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E,且 AE=1cm,EB=5cm,∠DEB=60°,

求 CD 的长。

C

4、如图,在直径为 100 mm 的半圆铁片上切去一块高为 20 mm 的弓形铁片,求弓

E

形的弦 AB 的长.

A

D

B

5、如图所示,已知矩形 ABCD 的边 AB ? 3cm,AD ? 4cm 。

(1)以点 A 为圆心,4cm 为半径作⊙A,则点 B、C、D 与⊙A 的位置关系如何? (2)若以点 A 为圆心作⊙A,使 B、C、D 三点中至少有一点在圆内,且至少有一 点在圆外,则⊙A 的半径 r 的取值范围是什么? 四、作图题:(9 分) 如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片,试找出它的圆心, 并将它还原成一 个圆.要求:1、尺规作图;2、保留作图痕迹.(可不写作法.)

C
五、探究拓展与应用(10 分)

1、在探讨圆周角与圆心角的大小关系时,小亮首先考虑了一种特A殊情况D(圆心 B

在圆周角的一边上)如图(1)A所示: C

A

C

A

C

∵∠AOC 是△ABO 的外角

∴∠AOC=∠ABO+∠BAO 又∵OA=OB ∴∠OAB=∠OBA ∴∠AOC=2∠ABO

O B
(1)

O B (2)

O B
(3)

即∠ABC= 1 ∠AOC 2
如果∠ABC 的两边都不经过圆心,如图(2)、(3),那么上述结论是否成立?

请你说明理由。

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