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名师推荐杭州下城高中补习班新王牌教育高二物理带电粒子在磁场中运动的问题临界极值及多解等问题课件_图文

?杭州下城高中补习班新王牌教育

(对应学生用书 P172)
带电粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动,由于多种 因素的影响,使问题形成多解.

1.带电粒子电性不确定形成多解 受洛伦兹力作用的带电粒子,可能是带正电粒子,也可能 是带负电粒子,在相同的初速度的条件下,正、负粒子在磁场 中运动轨迹不同,形成多解. 2.磁场方向不确定形成多解 有些题目只告诉了磁感应强度的大小,而未具体指出磁感 应强度的方向,此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成 的多解.

3.临界状态不唯一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下穿过有界磁场时,由于粒子运 动轨迹是圆弧状,因此,它可能直接穿过去,也可能转过 180°,从入射界面这边反向飞出,如图所示,于是形成了多 解.
4.运动具有周期性形成多解 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时,往往 运动具有周期性,因而形成多解.

(15 分)(2012·唐山摸底)一质量为 m、电荷量为 q 的带负电的 粒子,从 A 点射入宽度为 d、磁感应强度为 B 的匀强磁场中, MN、PQ 为该磁场的边界线,磁感线垂直于纸面向里,如下图 所示.带电粒子射入时的初速度与 PQ 成 45°角,且粒子恰好没 有从 MN 射出.(不计粒子所受重力)
(1)求该带电粒子的初速度 v0; (2)求该带电粒子从 PQ 边界射出的出射点到 A 点的距离 x.

[思路启迪] 解答此题应注意以下几点:(1)注意入射方向 的不确定引起多解性;(2)根据题意画出带电粒子的运动轨 迹,建立半径和磁场宽度的几何关系;(3)建立洛伦兹力和圆 周运动的关系.
[解题样板] (1)若初速度向右上方,设轨道半径为R1,如 上图甲所示.

则 R1=________,

(2 分)

可得 R1=(2+ 2)d

(1 分)

又 R1=________,

(2 分)

解得

v0=?2+

2?dqB m

(1 分)

若初速度向左上方,设轨道半径为 R2,如上图乙所示

则 R2=________,(2 分)

可得 R2=(2- 2)d,v0=________.

(1 分)

(2)若初速度向右上方,设射出点 C 到 A 点的距离为 x1

则 x1= 2R1=________

(3 分)

若初速度向左上方,设射出点 C 到 A 点的距离为 x2

则 x2= 2R2=________.

[ 答 案 ] (1)(R1 - d)/cos45°

mv0 qB

(3 分) (d - R2)/cos45°

?2- 2?dqB m

2( 2+1)d

2( 2-1)d.

矩形匀强磁场区域的长为 L,宽为L2,磁感应强度为 B,质 量为 m,电荷量为 e 的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场, 欲使该电子由下方边界穿出磁场,求:
(1)电子速率 v 的取值范围; (2)电子在磁场中运动时间 t 的变化范围.

[解析] (1)若电子从下边右端点 c 处穿出,如图甲所示: 由几何关系可知:R2=L2+(R-L2)2 可解得:R=54L 根据半径公式 R=mqBv,v=54eBmL

若当电子从下边左端点 d 处穿出,如图乙所示: 由几何关系可知:R=L4 根据半径公式 R=mqBv,v=e4BmL 因此,电子速率 v 的取值范围为: e4BmL<v<54emBL.

(2)若电子从下边右端点 c 处穿出,其轨迹所对应的圆心角 为 θ,由几何关系可知:
sinθ=LR=45,得:θ=53° 电子的运动时间:t=36θ0°T=0.29πemB 若电子从下边左端点 d 处穿出,其轨迹为半圆,电子的运 动时间: t=12T=πeBm

因此,电子在磁场中运动时间 t 的变化范围: 0.29 πeBm<t<πeBm. [答案] (1)e4BmL<v<54eBmL (2)0.29πemB <t<πemB

1.有界磁场分布区域的临界问题 该类问题主要解决外界提供什么样以及多大的磁场,使运 动电荷在有限的空间内完成规定偏转程度的要求,一般求解磁 场分布区域的最小面积,它在实际中的应用就是磁约束. 容易混淆点是:有界磁场的圆形区域与粒子运动径迹的圆 弧.解决的方法就是加强有界磁场圆形区域与带电粒子运动径 迹所在圆的圆心以及半径的对比.

在涉及多个物理过程问题中,依据发生的实际物理场景, 寻求不同过程中相衔接和联系的物理量,采用递推分析或者依 据发生的阶段,采用顺承的方式针对不同阶段进行分析,依据 不同的运动规律进行解决.

2.求解运动电荷初始运动条件的边界临界问题 该类问题多指运动电荷以不同的运动条件进入限定的有界 磁场区域,在有限的空间内发生磁偏转,有可能是一个相对完 整的匀速圆周运动,也有可能是圆周运动的一部分,对于后者 往往要求在指定的区域射出,但由于初速度大小以及方向的差 别,致使运动电荷在不同的位置射出,因此也就存在着不同情 况的边界最值问题.

因外界磁场空间范围大小的限定,使运动的初始条件有了 相应的限制,表现为在指定的范围内运动.确定运动轨迹的圆 心,求解对应轨迹圆的几何半径,通过圆心角进而表述临界最 值,这应当是解决该类问题的关键.

3.找临界点的方法 以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突 破口,借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运 动轨迹分析,确定轨迹圆和边界的关系,找出临界点,然后利用 数学方法求解极值,常用结论如下: (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹 与磁场边界相切. (2)当速率v一定时,弧长(或弦长)越长,圆心角越大,则带 电粒子在有界磁场中运动的时间越长. (3)当速率v变化时,圆周角大的,对应的运动时间也越长.

(10 分)(2012·六安期末)如右图所示,ABCD 是边长为 a 的 正方形.质量为 m、电荷量为 e 的电子以大小为 v0 的初速度沿 纸面垂直于 BC 边射入正方形区域.在正方形内适当区域中有 匀强磁场.电子从 BC 边上的任意点入射,都只能从 A 点射出 磁场. 不计重力,求:
(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小; (2)此匀强磁场区域的最小面积.

[思路启迪] 根据带电粒子的电性和入射、出射方向,结 合左手定则能否判定匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大 小?由C点入射的粒子的运动轨迹,能否确定出粒子运动的上 边界?取边BC中点,画出轨迹,以D为原点、DC为x轴、DA 为y轴建立坐标系,能否写出P点的坐标,你会有什么发现?

[解题样板] (1)设匀强磁场的磁感应强度的大小为 B. 令

圆弧 是自 C 点垂直于 BC 入射的电子在磁场中的运行轨

道.电子所受到的磁场的作用力 f=________.

①(1 分)

应指向圆弧的圆心,因而磁场的方向应垂直于纸面向外.

(1 分)

圆弧 的圆心在 CB 边或其延长线上.依题意,圆心在 A、

C 连 线 的 中 垂 线 上 , 故 ________ 点 即 为 圆 心 , 圆 半 径 为

________,按照牛顿定律有 f=mva20

②(1 分)

联立得 B=meva0.

③(1 分)

(2)由(1)中决定的磁感应强度的方向和大小,可知自 C 点垂 直于 BC 入射的电子在 A 点沿 DA 方向射出,且自 BC 边上其 他点垂直于 BC 入射的电子的运动轨迹只能在 BAEC 区域中.因
而,圆弧 是所求的最小磁场区域的一个边界.(2 分) 为了决定该磁场区域的另一边界,我们来考察射中 A 点的
电子的速度方向与 BA 的延长线交角为 θ(不妨设 0≤θ<π2)的情 形.该电子的运动轨迹 QP 如右图所示.

图中,圆弧 的圆心为 O,PQ 垂直于 BC 边,由③式知,

圆弧 的半径仍为 a,在以 D 为原点、DC 为 x 轴、AD 为 y 轴

的坐标系中,P 点的坐标(x,y)为

x=________



y=-[a-(a-acosθ)]=-acosθ



这意味着,在范围 0≤θ≤π2内,P 点形成以________为圆

心、________为半径的四分之一圆周 ,它是电子做________

运动和________运动的分界线,构成所求磁场区域的另一边

界.

(2 分)

因此,所求的最小匀强磁场区域是分别以 B 和 D 为圆心、

a 为半径的两个四分之一圆周 和 所围成的,其面积为 S

=2(14πa2-12a2)=π-2 2a2.

(2 分)

[答案] (1)Bev0 B a (2)asinθ D a 直线 圆周

确定带电粒子在有界磁场中运动的最小面积时,可将粒子 运动的边界点的运动轨迹用标准的尺规作图,然后借助数学方 法找出边界的特点,最终由几何方法求出面积.

(2012·福州模拟)如图所示,M、N为两块带等量异种电荷 的平行金属板,两板间电压可取从零到某一最大值之间的各 种数值.

静止的带电粒子带电荷量为+q,质量为m(不计重力), 从点P经电场加速后,从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区 域,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外,CD为磁场 边界上的一绝缘板,它与N板的夹角为θ=45°,孔Q到板的 下端C的距离为L,当M、N两板间电压取最大值时,粒子恰垂 直打在CD板上,求:
(1)两板间电压的最大值Um. (2)CD板上可能被粒子打中的区域的长度x. (3)粒子在磁场中运动的最长时间tm.

[解析] (1)M、N 两板间电压取最大值时,粒子恰垂直打 在 CD 板上,所以圆心在 C 点,如图所示,CH=QC=L
故半径 R1=L 又因 qv1B=mRv211 qUm=12mv12 所以 Um=qB2m2L2.

(2)设粒子在磁场中运动的轨迹与 CD 板相切于 K 点,此轨 迹的半径为 R2,在△AKC 中:sin 45°=L-R2R2
解得 R2=( 2-1)L 即 KC 长等于 R2=( 2-1)L 所以 CD 板上可能被粒子打中的区域的长度 x=HK,即 x =R1-R2=(2- 2)L.

(3)打在 QE 间的粒子在磁场中运动的时间最长,均为半周 期

所以 tm=T2=πBmq .

[答案]

qB2L2 (1) 2m

(2)(2- 2)L

(3)πBmq

(对应学生用书P173) 物理思想方法——处理带电粒子在磁场中运动的临界极值 思维方法 物理系统由于某些原因而要发生突变时所处的状态,叫 做临界状态.突变过程是从量变到质变的过程,在临界状态 的前后,系统服从不同的物理规律,按不同的规律变化.

如光学中的“临界角”、超导现象中的“临界温度”、 核反应中的“临界体积”、光电效应中的极限频率、静摩擦 现象中的最大静摩擦力等,在中学物理中像这样的明确地指 出的临界条件是容易理解和掌握的,但在高考试题中涉及的 物理过程中常常是隐含着一个或几个临界状态,需要考生通 过分析思考,运用所学的知识和已有的能力去分析临界条 件,挖掘出临界值,这对大多数考生来说是比较困难的.而 带电粒子在有界磁场中运动的临界问题是历年高考理科综合 命题中的热点.本节将结合这一问题,探讨一下如何确定它 们的临界条件?其中主要的有以下几种方法.

1.对称思想 带电粒子垂直射入磁场后,将做匀速圆周运动.分析粒 子运动,会发现它们具有对称的特点,即:粒子的运动轨迹 关于入射点P与出射点Q的中垂线对称,轨迹圆心O位于对称 线上,入射速度、出射速度与PQ线间的夹角(也称为弦切角) 相等,并有φ=α=2θ=ω·t,如图所示.

应用这一粒子运动中的“对称性”不仅可以轻松地画出 粒子在磁场中的运动轨迹,对于某些临界问题的求解也非常 便捷.

如图所示,在 x 轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强 度为 B 的匀强磁场,一个不计重力的带电粒子从坐标原点 O 处 以速度 v 进入磁场,粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且 与 x 轴正方向成 120°角,若粒子穿过 y 轴正半轴后在磁场中到 x 轴的最大距离为 a,则该粒子的比荷和所带电荷的正负分别是
()

A.23avB,正电荷 C.23avB,负电荷

B.2avB,正电荷 D.2avB,负电荷

[尝试解答] 粒子穿过 y 轴正半轴,由左手定则可判断粒 子带负电.根据带电粒子在有界磁场中运动的对称性作出粒子 在磁场中运动轨迹如图所示,由图中几何关系可得:
r+rsin30°=a,解得 r=23a. 由 r=mqBv得:mq =23avB.
[答案] C

2.放缩法 带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁场时,它们 将在磁场中做匀速圆周运动,其轨迹半径随速度的变化而变 化,如图所示(图中只画出粒子带正电的情景),速度v0越大, 运动半径也越大.可以发现这样的粒子源产生的粒子射入磁 场后,它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP′上.

由此我们可得到一种确定临界条件的方法:在确定这类 粒子运动的临界条件时,可以以入射点P为定点,圆心位于 PP′直线上,将半径放缩作轨迹,从而探索出临界条件,使 问题迎刃而解,这种方法称为“放缩法”.

如图所示,宽度为 d 的匀强有界磁场,磁感应强度为 B, MM′和 NN′是磁场左右的两条边界线.现有一质量为 m,电 荷量为 q 的带电粒子沿图示方向垂直射入磁场中,θ=45°.要使 粒子不能从右边界 NN′射出,求粒子入射速率的最大值为多 少?

[尝试解答] 用放缩法作出带电粒子运动的轨迹如图所 示,当其运动轨迹与 NN′边界线相切于 P 点时,这就是具有 最大入射速率 vmax 的粒子的轨迹.由题图可知:
R(1-cos45°)=d,又 Bqvmax=mvR2max.联立可得: vmax= ?2+ 2?Bqd
m.

[答案]

?2+ 2?Bqd m

3.平移法 带电粒子以一定速度沿任意方向射入匀强磁场时,它们 将在磁场中做匀速圆周运动,其轨迹半径相同,若射入初速 度为v0,则圆周运动半径为R=mv0/(qB),如图所示.同时可 发现这样的粒子源的粒子射入磁场后,粒子在磁场中做匀速 圆周运动,圆心在以入射点P为圆心、半径R=mv0/(qB)的圆 (这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上.

由此我们也可以得到一种确定临界条件的方法:确定这 类粒子在有界磁场中运动的临界条件时,可以将一半径为R= mv0/(qB)的圆沿着“轨迹圆心圆”平移,从而探索出临界条 件,这种方法称为“平移法”.

如图所示,真空室内存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面 向里,磁感应强度的大小 B=0.60 T,磁场内有一块平面感光板 ab,板面与磁场方向平行,在距 ab 的距离 l=16 cm 处,有一 个点状的 α 放射源 S,它向各个方向发射 α 粒子,α 粒子的速 率都是 v=3.0×106 m/s.

已知 α 粒子的电荷量与质量之比mq =5.0×107 C/kg,现只 考虑在图纸平面中运动的 α 粒子,求 ab 上被 α 粒子打中的区 域的长度.
[尝试解答] α 粒子从 S 点垂直磁场以一定大小的速度朝 各个方向射入,在磁场中均沿逆时针方向做匀速圆周运动,可 求出它们的运动轨迹半径 R,由 qvB=mvR2,得 R=?q/vm?B,代 入数值得 R=10 cm,可见 2R>l>R.

由于朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S,可先考查 速度沿负y方向的α粒子,其轨迹圆心在x轴上的A1点,将α粒子 运动轨迹的圆心A1点开始,沿着“轨迹圆心圆”逆时针方向移 动,如图所示.
由图可知,当轨迹圆的圆心移至 A3 点时,粒子运动轨迹与 ab 相交处 P2 到 S 的距离为 2R,P2 即为粒子打中 ab 上区域的 右边最远点,由题中几何关系得:NP2= ?2R?2-l2.

当 α 粒子的轨迹的圆心由 A3 点移至 A4 点的过程中,粒子 运动轨迹均会与 ab 相交,当移动 A4 点后将不再与 ab 相交了, 这说明圆心位于 A4 点的轨迹圆,与 ab 相切的 P1 点为粒子打中 区域的左边最远点.可过 A4 点作平行于 ab 的直线 cd,再过 A4 作 ab 的垂线,它与 ab 的交点即为 P1,同样由几何关系可知: NP1= R2-?l-R?2.
则所求长度为 P1P2=NP1+NP2,代入数值得 P1P2=20 cm. [答案] 20 cm

在 xOy 平面内有许多电子(质量为 m、电荷量为 e),从坐标 原点 O 不断地以相同的速率 v0 沿不同方向射入第一象限,如图 所示.现加一个垂直于 xOy 平面向里,磁感应强度为 B 的匀强 磁场,要求这些电子穿过磁场区域后都能平行于 x 轴并指向 x 轴正方向运动.求符合该条件磁场的最小面积.

[尝试解答] 本题关键是作好图,由题意可知,电子是以 一定速度从原点 O 沿任意方向射入第一象限的,故而可以应用 “平移法”,先考查速度沿+y 方向的电子,其运动轨迹的圆 心在 x 轴上的 A1 点,半径为 R=mBve0的圆.该电子沿圆弧 运 动至 P 点时即朝 x 轴的正方向,可见这段圆弧就是符合条件的 磁场上边界.

如果将电子运动轨迹的圆心由 A1 点开始,沿着“轨迹圆心 圆”顺时针方向移动,如图中 A2、A3、A4.这些轨迹圆最高点的 切线方向均平行于 x 轴并指向 x 轴正方向.因此,将“轨迹圆

心圆”在第四象限的那一段向上圆弧

平移至 OP 两点,

即为符合条件的磁场下边界.上、下边界就构成一个叶片形磁

场区域,如图中的右下角图,则符合条件的磁场最小面积为扇

形面积减去等腰直角三角形面积的 2 倍.

Smin=2×(14πR2-12R2)=π-2 2(meBv0)2. [答案] π-2 2(meBv0)2

(对应学生用书P175)

1.如图所示,圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场,三个质

量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c,以不同的速率对准圆

心O沿着AO方向射入磁场,其运动轨迹如图所示,若带电粒

子只受磁场力的作用,则下列说法正确的是

()

A.a粒子动能最大 B.c粒子速率最大 C.c粒子在磁场中运动时间最长 D.它们做圆周运动的周期Ta<Tb<Tc [解析] a半径最小,所对应圆心角最大. [答案] B

2.如下图所示,边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里 的匀强磁场,边界OA上有一粒子源S.某一时刻,从S平行于纸 面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力 及粒子间的相互作用),所有粒子的初速度大小相同,经过一 段时间有大量粒子从边界OC射出磁场.

已知∠AOC=60°,从边界OC射出的粒子在磁场中运动

的最长时间等于T/2(T为粒子在磁场中运动的周期),则从边界

OC射出的粒子在磁场中运动的时间可能为

()

A.T3

B.T4

T

T

C.6

D.8

[解析]粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动,由于所有 粒子的速度大小相同,故弧长越小,粒子在磁场中运动的时间 就越短,由于粒子在磁场中运动的最大时间为T2,沿 SA 方向射 出的粒子在磁场中运动时间最长,如右图所示作出粒子运动轨 迹图,

由几何关系可知当粒子在磁场中做圆周运动绕过的弧所对 应的弦垂直边界 OC 时,在磁场中运动时间最短,SD⊥OC,则 SD=12ES,即弦 SD 等于半径,相应∠DO′S=60°,即最短时 间为 t=36600°°T=T6,所以 A、B、C 正确.
[答案] ABC

3.如右图所示,垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形

abcd区域内,O点是cd边的中点.一个带正电的粒子仅在磁场

力的作用下,从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形

内,经过时间t0刚好从c点射出磁场.现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od成30°的方向,以大小不同的速率射入正方

形内,那么下列说法中正确的是

()

A.若该带电粒子从 ab 边射出,它经历的时间可能为 t0

B.若该带电粒子从 bc 边射出,它经历的时间可能为53t0

C.若该带电粒子从 cd 边射出,它经历的时间为53t0

D.若该带电粒子从

ad

边射出,它经历的时间可能为t0 3

[解析]作出从ab边射出的轨迹①、刚好从bc边射出的轨迹 ②、从cd边射出的轨迹③和刚好从ad边射出的轨迹④.由带正 电的粒子从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内,经 过时间t0刚好从c点射出磁场可知,带电粒子在磁场中做圆周运 动的周期是2t0.

如图可知,从

ab

边射出经历的时间一定不大于5t0;从 6

bc

边射出经历的时间一定不大于4t0;从 3

cd

边射出经历的时间一定

是5t0;从 3

ad

边射出经历的时间一定不大于t30.所以选择

C

正确.

[答案] C

4.如右图所示,半径为r=0.1 m的圆形匀强磁场区域边界 跟y轴相切于坐标原点O,磁感应强度B=0.332 T,方向垂直 纸面向里.在O处有一放射源,可沿纸面向各个方向射出速率 均为v=3.2×106 m/s的α粒子.已知α粒子质量m=6.64×10- 27kg,电荷量q=3.2×10-19C,不计α粒子的重力.求α粒子在 磁场中运动的最长时间.

[解析] 由 qvB=mvR2得 R=mqBv=0.2 m>r=0.1 m 因此要使 α 粒子在磁场中运动的时间最长,则需要 α 粒子 在磁场中运动的圆弧所对应的弦长最长,从图中可以看出,沿 以直径 OA 为弦、R 为半径的圆弧做圆周运动时,α 粒子在磁 场中运动的时间最长.

由 T=2qπBm,运动时间 tm=22θπT,又 sinθ=Rr =0.5,得 tm =T6=3πqmB,代入数据,解得 tm=6.5×10-8 s.
[答案] 6.5×10-8 s




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