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优化方案2017高中数学 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 新人教A版必修2_图文

第四章 圆与方程
4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程

第四章 圆与方程
1.会用定义推导圆的标准方程;掌握圆的标准方程的特 点. 2.会根据已知条件求圆的标准方程. 3.能准确判断点与圆的位置关系.

1.圆的标准方程 设圆心坐标为(a,b),半径为 r,则圆的标准方程为 ___(x_-__a_)_2_+__(_y-__b__)2_=__r_2 __. 特别地,当圆心在坐标原点时,圆的标准方程为__x_2_+__y_2=__r_2__.

2.点与圆的位置关系

设点 P 到圆心的距离为 d,半径为 r.

d 与 r 的大小

点与圆的位置关系

d_<__r

点 P 在圆内

d_=__r

点 P 在圆上

d__>_r

点 P 在圆外

1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2 一定表示圆.( ) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径.( ) (3)圆(x+1)2+(y+2)2=4 的圆心坐标是(1,2),半径是 4.( ) (4)点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1 上.( )
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)×

2.一圆的标准方程为 x2+(y+1)2=8,则此圆的圆心与半径分别

为( )

A.(1,0),4

B.(-1,0),2 2

C.(0,1),4

D.(0,-1),2 2

答案:D 3.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4 的内部,则 a 的取值范围是

() A.-1<a<1 C.a<-1 或 a>1 答案:A

B.0<a<1 D.a=±1

4.圆心为点 C(8,-3),且经过点 P(5,1)的圆的标准方程是 ____________. 解析:法一:根据圆的定义,圆的半径 r=|CP|=
(8-5)2+(-3-1)2=5,所以圆的标准方程是(x-8)2+(y +3)2=25. 法二:设圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=r2,因为点 P(5,1) 在圆上,所以(5-8)2+(1+3)2=r2,即 r2=25.故圆的标准方程是 (x-8)2+(y+3)2=25. 答案:(x-8)2+(y+3)2=25

探究点一 求圆的标准方程 求下列圆的标准方程. (1)圆心在 y 轴上,半径为 5,且过点(3,-4); (2)求过点 A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的 圆的标准方程. [解] (1)设圆心为 C(0,b),则(3-0)2+(-4-b)2=52, 所以 b=0 或 b=-8, 所以圆心为(0,0)或(0,-8),又 r=5, 所以圆的标准方程为 x2+y2=25 或 x2+(y+8)2=25.

(2)法一:设点 C 为圆心, 因为点 C 在直线 x+y-2=0 上, 所以可设点 C 的坐标为(a,2-a). 又因为该圆经过 A,B 两点,所以|CA|=|CB|. 所以 (a-1)2+(2-a+1)2= (a+1)2+(2-a-1)2, 解得 a=1. 所以圆心坐标为 C(1,1),半径长 r=|CA|=2. 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.

法二:由已知可得线段 AB 的中点坐标为(0,0),kAB=1--(1- -11) =-1,所以弦 AB 的垂直平分线的斜率为 k=1,所以 AB 的垂 直平分线的方程为 y-0=1·(x-0),即 y=x.则圆心是直线 y=x



x+y-2=0

的交点,由???y=x,

解得???x=1,即圆心为

??x+y-2=0, ??y=1,

(1,1),圆的半径为 (1-1)2+[1-(-1)]2=2, 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.

本例(2)改为求经过点 A(1,-1),B(-1,1)面积
最小的圆的标准方程. 解:当 AB 为圆的直径时,半径最小,从而圆面积最小.此时圆 心 C(0,0),半径 r=12|AB|=12 (-1-1)2+(1+1)2= 2, 所以所求圆的标准方程为 x2+y2=2.

(1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,因此用直接法 求圆的标准方程时,一般先从确定圆的两个要素入手,即首先求 出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程. (2)注意圆的有关几何性质,可使问题计算简单. (3)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 设方程((x-a)2+(y-b)2=r2)→列方程组(由已知条件,建立关于 a、b、r 的方程组)→解方程组(解方程组,求出 a、b、r)→得方 程(将 a、b、r 代入所设方程,得所求圆的标准方程)

1.若圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称,则圆 C 的标准方程为_______________________.
解析:因为圆 C 的圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称,即圆心 坐标为(0,1),而圆的半径不变,故所求圆 C 的标准方程为 x2 +(y-1)2=1. 答案:x2+(y-1)2=1

探究点二 点与圆的位置关系

(1)点 P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1 的内部,则 a 的

取值范围是( )

A.-1<a<1

B.a<113

C.-15<a<15

D.-113<a<113

(2)已知两点 P1(4,9)和 P2(6,3). ①求以 P1P2 为直径的圆的方程; ②试判断点 M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上,在圆内,还

是在圆外?

[解] (1)选 D.因为点 P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1 的内部. 所以[(5a+1)-1]2+(12a)2<1, 所以 169a2<1,即-113<a<113. (2)①设圆心为 C(a,b),半径为 r,则由 C 为 P1P2 的中点得 a= 4+2 6=5,b=9+2 3=6. 又由两点间的距离公式得 r=|CP1|= (4-5)2+(9-6)2= 10, 所以所求圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10.

②由①知,圆心 C(5,6),则分别计算点到圆心的距离: |CM|= (6-5)2+(9-6)2= 10; |CN|= (3-5)2+(3-6)2= 13> 10; |CQ|= (5-5)2+(3-6)2=3< 10. 因此,点 M 在圆上,点 N 在圆外,点 Q 在圆内.

判断点与圆位置关系的两种方法 (1)几何法:主要利用点到圆心的距离与半径比较大小. (2)代数法:主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断: 点 P(x0,y0)在圆 C 上?(x0-a)2+(y0-b)2=r2; 点 P(x0,y0)在圆 C 内?(x0-a)2+(y0-b)2<r2; 点 P(x0,y0)在圆 C 外?(x0-a)2+(y0-b)2>r2.

2.(1)点 M(a,a+1)与圆 C:(x-1)2+y2=1 的关 系是( ) A.M 在 C 外 B.M 在 C 上 C.M 在 C 内 D.不确定与 a 的取值有关 (2)已知圆 C 的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0),若点 P(1, 1)在圆内,点 N(3,2)在圆外,求半径 r 的取值范围.

解:(1)选 A.因为圆心 C(1,0), |MC|= (a-1)2+(a+1)2= 2a2+2≥ 2>1,故选 A.
(2)因为点 P(1,1)在圆内,圆心 C(1,2), 所以 r>|PC|= (1-1)2+(1-2)2=1. 又因为点 N(3,2)在圆外, 故 r<|NC|= (3-1)2+(2-2)2=2. 所以 1<r<2.

探究点三 利用圆的定义与标准方程求最值 已知 x,y∈R,且圆 C:(x-1)2+(y+2)2=4,求(x+2)2 +(y-2)2 的最大值与最小值.
[解] 因为(x-1)2+(y+2)2=4 表示以 C(1,-2)为圆心,半径 r =2 的圆, 所以 (x+2)2+(y-2)2表示圆上的动点 M(x,y)与定点 A(-2,2)的距离(如图).

连接 AC,直线 AC 与圆 C 交于 A1、A2. 则当 M 位于 A2位置时, (x+2)2+(y-2)2取得最大值,|AC| +r= (1+2)2+(-2-2)2+2=7. 当 M 位于 A1 位置时, (x+2)2+(y-2)2取得最小值, |AC|-r= (1+2)2+(-2-2)2-2=3. 即(x+2)2+(y-2)2 的最大值为 49,最小值为 9.

在本例中,条件不变,求x-y 4的最大值与最小值.
解:法一:(数形结合法) 如图: x-y 4即为圆上的点 M(x,y)与 A(4,0)的连线所在直线的斜率 k, 过 A 的两条切线分别为 AA1,AA2,则 kAA1≤k≤kAA2.

由图可知,设过 A 点与圆 C 相切的切线方程为 y=a(x-4), 则点 C 到该直线的距离为 2, 即|a+a22-+41a|=2, 解得 5a2-12a=0, 所以 a1=0,a2=152,
即 kAA1=0,kAA2=152,
所以 0≤k≤152, 即x-y 4的最大值为152,最小值为 0.

法二:(直线法) 令x-y 4=k,即 y=k(x-4)表示圆上的点 M(x,y)与点 A(4,0)的 连线方程,则圆心 C(1,-2)到直线 AM 的距离不大于半径 2, 即|2- k2+3k1| ≤2, 即 5k2-12k≤0,所以 0≤k≤152, 即x-y 4的最大值为152,最小值为 0.

有关圆的最值问题,常借助于图形性质,利用数形结合求解.一 般地,①形如 k=xy--ba的最值问题可转化为求动直线斜率的最值 问题;②形如 t=ax+by 的最值问题转化为动直线截距的最值问 题;③形如(x-a)2+(y-b)2 的最值问题转化为圆上一动点到定 点(a,b)的最值问题.

3.已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1,点 A(0,-1), B(0,1),设 P 是圆 C 上的动点,令 d=|PA|2+|PB|2,求 d 的最 大值及最小值. 解:设 P(x,y), 则 d=|PA|2+|PB|2=2(x2+y2)+2. 因为|CO|2=32+42=25,所以(5-1)2≤x2+y2≤(5+1)2. 即 16≤x2+y2≤36. 所以 d 的最小值为 2×16+2=34;最大值为 2×36+2=74.

1.确定圆的方程的条件 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 中,有三个参数 a、b、r,只 要求出 a、b、r,这时圆的方程就确定了,因此确定圆的方程, 需要三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定量 条件.

2.几种特殊位置的圆的方程 (1)圆心在原点:x2+y2=r2(r>0); (2)圆过原点:(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2≠0); (3)圆心在 x 轴上:(x-a)2+y2=r2(r>0); (4)圆心在 y 轴上:x2+(y-b)2=r2(r>0); (5)圆心在 x 轴上且过原点:(x-a)2+y2=a2(a≠0); (6)圆心在 y 轴上且过原点:x2+(y-b)2=b2(b≠0); (7)圆与 x 轴相切:(x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0); (8)圆与 y 轴相切:(x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0); (9)圆与两坐标轴都相切:(x-a)2+(y-b)2=a2(|a|=|b|≠0).

3.点 M 与圆上任一点 P 间距离的最值 (1)若点 M 在圆 C 外,d 表示点 M 到圆心 C 的距离,则|PM|的最 大值为 d+r,最小值为 d-r. (2)若点 M 在圆 C 上,则|PM|的最大值为 2r,最小值为 0. (3)若点 M 在圆 C 内,则|PM|的最大值为 d+r,最小值为 r-d.

1.若一圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3,则此圆的圆心和半

径长分别为( )

A.(-1,5), 3

B.(1,-5), 3

C.(-1,5),3

D.(1,-5),3

解析:选 B.由(x-1)2+(y+5)2=3,得(x-1)2+[y-(-5)]2=( 3)2, 故圆心为(1,-5),半径长为 3.

2.点 P(a,10)与圆(x-1)2+(y-1)2=2 的位置关系是( )

A.在圆外

B.在圆上

C.在圆内

D.与 a 的值有关

解析:选 A.因为 (a-1)2+(10-1)2= (a-1)2+81> 2, 故点 P(a,10)在圆外.

3.圆心在直线 x=2 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0,-4),B(0, -2),则圆 C 的方程为______________________.
解析:由题意知圆心坐标为(2,-3), 半径 r= (2-0)2+(-3+2)2= 5,所以圆 C 的方程为 (x-2)2+(y+3)2=5. 答案:(x-2)2+(y+3)2=5



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