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2018年秋九年级数学上册 第3章 图形的相似 3.1 比例线段 3.1.2 成比例线段导学 湘教版_图文

第3章 图形的相似
3.1 比例线段

第3章 图形的相似
3.1.2 成比例线段
知识目标 目标突破 总结反思

3.1 比例线段
知识目标
1.通过实际数据的测量与计算,理解线段的比与成比例线 段,并能判断四条线段是否成比例.
2.在理解成比例线段的基础上,进一步理解黄金分割与黄 金分割比的定义.

3.1 比例线段
目标突破
目标一 会判断线段是否成比例
例1 教材例3针对训练 判断下列长度的各组线段是否成比例. (1)4 cm,6 cm,8 cm,2 cm; (2)1.5 cm,4.5 cm,2.5 cm,7.5 cm; (3)1.1 cm,2.2 cm,3.3 cm,6.6 cm; (4)2 cm,4 cm,4 cm,8 cm.

3.1 比例线段
解:(1)将各线段长度从小到大排列为2 cm,4 cm,6 cm,8 cm,由 于4×6≠8×2,所以这四条线段不成比例. (2)将各线段长度从小到大排列为1.5 cm,2.5 cm,4.5 cm,7.5 cm, 由于1.5×7.5=4.5×2.5,所以这四条线段成比例. (3)将各线段长度从小到大排列为1.1 cm,2.2 cm,3.3 cm,6.6 cm, 由于1.1×6.6=2.2×3.3,所以这四条线段成比例. (4)将各线段长度从小到大排列为2 cm,4 cm,4 cm,8 cm,由于 2×8=4×4,所以这四条线段成比例.

3.1 比例线段
【归纳总结】 1. 判断四条线段是否成比例的方法 方法1:先统一它们的单位,并按照从小到大的顺序排列,分 别求出前面两条线段的比与后面两条线段的比.若它们的比值 相等,则它们是比例线段;若它们的比值不相等,则它们不是 比例线段;

3.1 比例线段
方法 2:若判断四条线段在同一单位下是否成比例,则只要 看其中两条线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积即可.若相 等,则这四条线段成比例;若不相等,则这四条线段不成比例.
2.注意:四条线段成比例有严格的顺序,各项的位置不可 随意调换.若线段 a,b,c,d 是比例线段,则只能写成ab=dc或 a∶b =c∶d,其中 d 叫作 a,b,c 的第四比例项.

3.1 比例线段
例2 教材补充例题 已知a=4 cm,c=9 cm,且a,b,b,c是比例 线段,试求线段b的长.
[解析] 若a,b,b,c是比例线段,则a∶b=b∶c,即b2=ac.
解:∵a,b,b,c是比例线段, ∴a∶b=b∶c. 又∵a=4 cm,c=9 cm, ∴4∶b=b∶9,即b2=36, ∴b=6 cm(负值已舍去).

3.1 比例线段
【归纳总结】 利用线段的比例关系求线段长度的方法 根据线段的关系写出比例式,并把它作为等量关系构造方程,解 方程即可求出所求线段的长度.

3.1 比例线段

目标二 理解黄金分割与黄金分割比
例 3 教材补充例题 如图 3-1-1,点 C 是线段 AB 的黄金 分割点(AC>BC),下列结论错误的是( B )

A.AABC=BACC

C.AABC=

5-1 2

图 3-1-1 B.BC2=AB·AC D.BACC≈0.618

3.1 比例线段
[解析] ∵AC>BC,∴AC 是较长的线段,根据黄金分割的定义可知: AACB=ABCC,故 A 正确,不符合题意;AC2=AB·BC,故 B 错误,符合题意; AACB= 52-1,故 C 正确,不符合题意;BACC≈0.618,故 D 正确,不符合题意.故 选 B.

3.1 比例线段
例 4 教材补充例题一般认为,若一个人的肚脐以上的高度与肚脐 以下的高度符合黄金分割,则这个人好看.如图 3-1-2 是一个参加空 姐选拔的选手的净身高情况,那么她应穿多高的鞋子才好看?(精确到 1 cm)
图 3-1-2

3.1 比例线段
[解析] 根据黄金分割的概念,可以知道黄金 分割点把一条线段分成两部分,其中较短线段与较 长线段的比约是0.618.因此,可以建立方程解决问 题.
解:设她应穿 x cm 高的鞋子.根据题意,得 956+5 x≈0.618,解得 x≈10. 答:她应穿 10 cm 高的鞋子才好看.

3.1 比例线段

【归纳总结】 黄金分割与黄金分割比

(1)黄金分割比是指较长线段与原线段的比(或者较短线段

与较长线段的比),其比有顺序,可简记为黄金分割比=短∶长

=长∶全.

(2)同一线段的黄金分割点有两个.

(3)记忆:较长线段=

52-1×全线段,较短线段=3-2

5 ×

全线段.

3.1 比例线段
总结反思
小结
知识点一 成比例线段
线段的比:一般地,如果选用同一长度单位量得两条线段 AB,A′B′的长度分别为 m,n,那么把它们的长度的比mn 叫作 这两条线段 AB 与 A′B′的比,记作AA′BB′=mn ,或 AB∶A′B′= m∶n.

3.1 比例线段
比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比__等_于___ 另外两条线段的比,那么这四条线段叫作成比例线段,简称为 比例线段.

3.1 比例线段

知识点二 黄金分割

定义:如果点 C 把线段 AB 分成不相等的两部分,使较短线

段 CB 与较长线段 AC 的比等于线段 AC 与原线段 AB 的比,即使 得___AC_CB_=_AA__CB__,那么称线段 AB 被点 C 黄金分割,点 C 叫作线段

AB 的黄金分割点,较长线段 AC 与原线段 AB 的比叫作黄金分割比.

比值:如果点 C 为线段 AB 的黄金分割点,且 AC>BC,那么AACB

=ABCC=

5-1 2 ≈0.618.

3.1 比例线段
反思
已知三条线段的长度分别是 3,4,6,试给出另一 条线段,使这四条线段成为比例线段.
解:设所加的线段长为 x,则得到34=6x,解得 x=8. 上述解法正确吗?若不正确,请说明理由,并写出 正确的解题过程.

3.1 比例线段
解:不正确.理由:因为 x 的长度不定,所以比例式就不能确定, 应分情况讨论.正确解法如下:设所加的线段长是 x,则34=6x或43=x6或x3 =46,解得 x=8 或 x=92或 x=2.故另一条线段的长为 8 或29或 2.



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